Basis mit Dachprodukt < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 Fr 17.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Welche der folgenden Mengen bilden eine Basis von [mm] \IR^{3} \wedge \IR^{3} [/mm] ?
a) [mm] e_{1} \wedge e_{2},e_{1} \wedge e_{2},e_{1} \wedge e_{2}
[/mm]
b) [mm] (e_{1}+e_{2}) \wedge e_{3},(e_{2}+e_{3}) \wedge e_{1},(e_{3}+e_{1}) \wedge e_{2}
[/mm]
c) [mm] (e_{1}+e_{2}) \wedge e_{3},(e_{2}-e_{3}) \wedge e_{1},(e_{3}-e_{1}) \wedge e_{2}. [/mm] |
Hallo liebe Mitglieder,
Mit dem Dachprodukt bin ich noch nicht ganz vertraut, und bin die Aufgabe folgendermaßen angegangen:
Ich muss die Mengen auf lineare Unabhängigkeit überprüfen:
a) Zunächst kann ich doch schreiben [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} \wedge \vektor{0 \\ 1 \\ 0}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0} \otimes \vektor{0 \\ 1 \\ 0}+X_{v}, [/mm] wobei [mm] X_{v} [/mm] ein Unterraum von [mm] \IR^{3} [/mm] ist.
Also habe ich gerechnet:
[mm] r*(\vektor{1 \\ 0 \\ 0} \otimes \vektor{0 \\ 1 \\ 0}+X_{v})+s*(\vektor{0 \\ 1 \\ 0} \otimes \vektor{0 \\ 0 \\ 1}+X_{v})+t*(\vektor{0 \\ 0 \\ 1} \otimes \vektor{1 \\ 0 \\ 0}+X_{v})=0
[/mm]
[mm] r*(\vektor{1 \\ 0 \\ 0} \otimes \vektor{0 \\ 1 \\ 0})+s*(\vektor{0 \\ 1 \\ 0} \otimes \vektor{0 \\ 0 \\ 1})+t*(\vektor{0 \\ 0 \\ 1} \otimes \vektor{1 \\ 0 \\ 0})+X_{v}=0
[/mm]
Jetzt wollte ich wie gewohnt ein Gleichungssystem aufstellen, aber ich hab jetzt das Tensorprodukt und keine normale Summe. Ich weiß nicht wie ich damit rechnen bzw. wie ich ein lgs aufstellen soll.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:54 Fr 17.06.2011 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Welche der folgenden Mengen bilden eine Basis von [mm]\IR^{3} \wedge \IR^{3}[/mm]
> ?
>
> a) [mm]e_{1} \wedge e_{2},e_{1} \wedge e_{2},e_{1} \wedge e_{2}[/mm]
>
> b) [mm](e_{1}+e_{2}) \wedge e_{3},(e_{2}+e_{3}) \wedge e_{1},(e_{3}+e_{1}) \wedge e_{2}[/mm]
>
> c) [mm](e_{1}+e_{2}) \wedge e_{3},(e_{2}-e_{3}) \wedge e_{1},(e_{3}-e_{1}) \wedge e_{2}.[/mm]
> Mit dem Dachprodukt bin ich noch nicht ganz vertraut, und
> bin die Aufgabe folgendermaßen angegangen:
Weißt du denn, wie man bei Vektorräumen eine Basis des Dachproduktes findet, wenn man in jedem Faktor eine Basis hat? Wenn ja, sind wir einen Schritt weiter.
Bei a) ist die Antwort hoffentlich sowieso ziemlich klar.
Bei b) könntest du die gegebenen Vektoren 'ausmultiplizieren' mit den 3 Vektoren [mm] $e_1 \wedge e_2$, $e_1 \wedge e_3$ [/mm] und [mm] $e_2 \wedge e_3$ [/mm] vergleichen. Und würdest hoffentlich feststellen, daß das keine Basis ist.
Und bei c) könntest du dann den gleichen Anlauf machen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Fr 17.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo statler,
> Mahlzeit!
>
> > Welche der folgenden Mengen bilden eine Basis von [mm]\IR^{3} \wedge \IR^{3}[/mm]
> > ?
> >
> > a) [mm]e_{1} \wedge e_{2},e_{1} \wedge e_{2},e_{1} \wedge e_{2}[/mm]
>
> >
> > b) [mm](e_{1}+e_{2}) \wedge e_{3},(e_{2}+e_{3}) \wedge e_{1},(e_{3}+e_{1}) \wedge e_{2}[/mm]
>
> >
> > c) [mm](e_{1}+e_{2}) \wedge e_{3},(e_{2}-e_{3}) \wedge e_{1},(e_{3}-e_{1}) \wedge e_{2}.[/mm]
>
> > Mit dem Dachprodukt bin ich noch nicht ganz vertraut, und
> > bin die Aufgabe folgendermaßen angegangen:
>
> Weißt du denn, wie man bei Vektorräumen eine Basis des
> Dachproduktes findet, wenn man in jedem Faktor eine Basis
> hat? Wenn ja, sind wir einen Schritt weiter.
Meinst du sowas: Eine Basis von [mm] \IR^{3} \wedge \IR^{3} [/mm] ist dann [mm] B=(e_1 \wedge e_3,e_2 \wedge e_3,e_1 \wedge e_2,e_{1},e_{2},e_{3},e_1 \wedge e_3 \wedge e_3, [/mm] 1) ?
>
> Bei a) ist die Antwort hoffentlich sowieso ziemlich klar.
Ehrlich gesagt nicht. Also ich kann mir denken, dass es eine Basis ist, aber ich weiß nicht wie man es nachweist.
>
> Bei b) könntest du die gegebenen Vektoren
> 'ausmultiplizieren' mit den 3 Vektoren [mm]e_1 \wedge e_2[/mm], [mm]e_1 \wedge e_3[/mm]
> und [mm]e_2 \wedge e_3[/mm] vergleichen. Und würdest hoffentlich
> feststellen, daß das keine Basis ist.
>
Ok, ich habe jetzt [mm] e_1 \wedge e_3+e_2 \wedge e_3,e_2 \wedge e_1+e_3 \wedge e_1,e_3 \wedge e_2+e_1 \wedge e_2.
[/mm]
Jetzt weiß ich dass [mm]e_1 \wedge e_2[/mm], [mm]e_1 \wedge e_3[/mm] und [mm]e_2 \wedge e_3[/mm] in einer Basis enthalten sind.
Außerdem ist [mm] e_{1} \wedge e_{3}=-e_{3} \wedge e_{1}, e_{2} \wedge e_{1}=-e_{1} \wedge e_{2}, e_{3} \wedge e_{2}=-e_{2} \wedge e_{3}.
[/mm]
Und wie erkenne ich jetzt ob es eine Basis ist oder nicht?
Bei der c) habe ich [mm] e_1 \wedge e_3+e_2 \wedge e_3,e_2 \wedge e_1-e_3 \wedge e_1,e_3 \wedge e_2-e_1 \wedge e_2.
[/mm]
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Fr 17.06.2011 | | Autor: | statler |
Hi!
> > > Welche der folgenden Mengen bilden eine Basis von [mm]\IR^{3} \wedge \IR^{3}[/mm]
> > > ?
> > >
> > > a) [mm]e_{1} \wedge e_{2},e_{1} \wedge e_{2},e_{1} \wedge e_{2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > b) [mm](e_{1}+e_{2}) \wedge e_{3},(e_{2}+e_{3}) \wedge e_{1},(e_{3}+e_{1}) \wedge e_{2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > c) [mm](e_{1}+e_{2}) \wedge e_{3},(e_{2}-e_{3}) \wedge e_{1},(e_{3}-e_{1}) \wedge e_{2}.[/mm]
>
> >
> > > Mit dem Dachprodukt bin ich noch nicht ganz vertraut, und
> > > bin die Aufgabe folgendermaßen angegangen:
> >
> > Weißt du denn, wie man bei Vektorräumen eine Basis des
> > Dachproduktes findet, wenn man in jedem Faktor eine Basis
> > hat? Wenn ja, sind wir einen Schritt weiter.
>
> Meinst du sowas: Eine Basis von [mm]\IR^{3} \wedge \IR^{3}[/mm] ist
> dann [mm]B=(e_1 \wedge e_3,e_2 \wedge e_3,e_1 \wedge e_2,e_{1},e_{2},e_{3},e_1 \wedge e_3 \wedge e_3,[/mm]
> 1) ?
Ich meine sowas, aber das sind viel zu viele!
> > Bei a) ist die Antwort hoffentlich sowieso ziemlich klar.
>
> Ehrlich gesagt nicht. Also ich kann mir denken, dass es
> eine Basis ist, aber ich weiß nicht wie man es nachweist.
Können 3 gleiche Vektoren eine Basis bilden?
> > Bei b) könntest du die gegebenen Vektoren
> > 'ausmultiplizieren' mit den 3 Vektoren [mm]e_1 \wedge e_2[/mm], [mm]e_1 \wedge e_3[/mm]
> > und [mm]e_2 \wedge e_3[/mm] vergleichen. Und würdest hoffentlich
> > feststellen, daß das keine Basis ist.
> >
> Ok, ich habe jetzt [mm]e_1 \wedge e_3+e_2 \wedge e_3,e_2 \wedge e_1+e_3 \wedge e_1,e_3 \wedge e_2+e_1 \wedge e_2.[/mm]
>
> Jetzt weiß ich dass [mm]e_1 \wedge e_2[/mm], [mm]e_1 \wedge e_3[/mm] und
> [mm]e_2 \wedge e_3[/mm] in einer Basis enthalten sind.
> Außerdem ist [mm]e_{1} \wedge e_{3}=-e_{3} \wedge e_{1}, e_{2} \wedge e_{1}=-e_{1} \wedge e_{2}, e_{3} \wedge e_{2}=-e_{2} \wedge e_{3}.[/mm]
Benutz das und addier die 3 erhaltenen Terme oben.
> Und wie erkenne ich jetzt ob es eine Basis ist oder nicht?
>
> Bei der c) habe ich [mm]e_1 \wedge e_3+e_2 \wedge e_3,e_2 \wedge e_1-e_3 \wedge e_1,e_3 \wedge e_2-e_1 \wedge e_2.[/mm]
c) überlaß ich dir.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Sa 18.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
> > Meinst du sowas: Eine Basis von [mm]\IR^{3} \wedge \IR^{3}[/mm] ist
> > dann [mm]B=(e_1 \wedge e_3,e_2 \wedge e_3,e_1 \wedge e_2,e_{1},e_{2},e_{3},e_1 \wedge e_3 \wedge e_3,[/mm]
> > 1) ?
>
> Ich meine sowas, aber das sind viel zu viele!
>
> > > Bei a) ist die Antwort hoffentlich sowieso ziemlich klar.
> >
> > Ehrlich gesagt nicht. Also ich kann mir denken, dass es
> > eine Basis ist, aber ich weiß nicht wie man es nachweist.
>
> Können 3 gleiche Vektoren eine Basis bilden?
Nein, im [mm] \IR^{3} [/mm] nicht. Also ist die erste Menge deswegen eine Basis,weil die drei vektoren verschieden sind. Muss ich nicht die lineare Unabhängigkeit zeigen?
>
> > > Bei b) könntest du die gegebenen Vektoren
> >
> > Jetzt weiß ich dass [mm]e_1 \wedge e_2[/mm], [mm]e_1 \wedge e_3[/mm] und
> > [mm]e_2 \wedge e_3[/mm] in einer Basis enthalten sind.
> > Außerdem ist [mm]e_{1} \wedge e_{3}=-e_{3} \wedge e_{1}, e_{2} \wedge e_{1}=-e_{1} \wedge e_{2}, e_{3} \wedge e_{2}=-e_{2} \wedge e_{3}.[/mm]
>
> Benutz das und addier die 3 erhaltenen Terme oben.
Ahhh, jetzt hab ichs.
> > Bei der c) habe ich [mm]e_1 \wedge e_3+e_2 \wedge e_3,e_2 \wedge e_1-e_3 \wedge e_1,e_3 \wedge e_2-e_1 \wedge e_2.[/mm]
>
> c) überlaß ich dir.
Bei der c) habe ich raus, dass der 2. Vektor Null wird, das heißt aber dass ich nur zwei Vektoren in der Basis habe. 2 Vektoren können aber nicht [mm] \IR^{3} \wedge \IR^{3} [/mm] erzeugen, also keine Basis.
Ich vermute aber, dass es doch eine Basis ist, deswegen hier meine Rechenschritte:
Zunächst bekomme ich durch Klammerauflösen folgende Basisvektoren:
[mm] e_{1} \wedge e_{3}+e_{2} \wedge e_{3}, e_{2} \wedge e_{1}-e_{3} \wedge e_{1}, e_{3} \wedge e_{2}-e_{1} \wedge e_{2}.
[/mm]
Dann habe ich benutzt,dass [mm] e_{1} \wedge e_{3}=-e_{3} \wedge e_{1}, e_{2} \wedge e_{1}=-e_{1} \wedge e_{2}, e_{3} \wedge e_{2}=-e_{2} \wedge e_{3} [/mm] und alles zusammengerechnet:
[mm] -e_{3} \wedge e_{1}+e_{2} \wedge e_{3}-e_{1} \wedge e_{2}-e_{3} \wedge e_{1}-e_{2} \wedge e_{3}-e_{1} \wedge e_{2}=-2*e_{3} \wedge e_{1}-2*e_{1} \wedge e_{2} [/mm] und das =0 gesetzt.
Daraus folgt, dass [mm] e_{3} \wedge e_{1}=-e_{1} \wedge e_{2}=e_{2} \wedge e_{1}.
[/mm]
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy_90,
> Hallo,
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>
> > > Bei der c) habe ich [mm]e_1 \wedge e_3+e_2 \wedge e_3,e_2 \wedge e_1-e_3 \wedge e_1,e_3 \wedge e_2-e_1 \wedge e_2.[/mm]
>
> >
> > c) überlaß ich dir.
>
> Bei der c) habe ich raus, dass der 2. Vektor Null wird, das
> heißt aber dass ich nur zwei Vektoren in der Basis habe. 2
> Vektoren können aber nicht [mm]\IR^{3} \wedge \IR^{3}[/mm]
> erzeugen, also keine Basis.
>
> Ich vermute aber, dass es doch eine Basis ist, deswegen
> hier meine Rechenschritte:
>
> Zunächst bekomme ich durch Klammerauflösen folgende
> Basisvektoren:
>
> [mm]e_{1} \wedge e_{3}+e_{2} \wedge e_{3}, e_{2} \wedge e_{1}-e_{3} \wedge e_{1}, e_{3} \wedge e_{2}-e_{1} \wedge e_{2}.[/mm]
>
> Dann habe ich benutzt,dass [mm]e_{1} \wedge e_{3}=-e_{3} \wedge e_{1}, e_{2} \wedge e_{1}=-e_{1} \wedge e_{2}, e_{3} \wedge e_{2}=-e_{2} \wedge e_{3}[/mm]
> und alles zusammengerechnet:
>
> [mm]-e_{3} \wedge e_{1}+e_{2} \wedge e_{3}-e_{1} \wedge e_{2}-e_{3} \wedge e_{1}-e_{2} \wedge e_{3}-e_{1} \wedge e_{2}=-2*e_{3} \wedge e_{1}-2*e_{1} \wedge e_{2}[/mm]
> und das =0 gesetzt.
> Daraus folgt, dass [mm]e_{3} \wedge e_{1}=-e_{1} \wedge e_{2}=e_{2} \wedge e_{1}.[/mm]
Wenn Du die Basisvektoren geschickt kombinierst,
kannst Du die Frage nach der Basis beantworten.
>
> Vielen Dank
> lg
Gruss
MathePower
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