Basis mit 1 < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Fr 21.05.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo Zusammen.
Ich würde gerne beweisen, dass für einen beliebigen Zahlkörper K, der Ganzheitsring [mm] \mathcal{O}_{K} [/mm] eine "integral basis" (ganze Basis??) besitzt, die 1 enthält.
Ich weiss nicht ganz womit ich arbeiten muss, deswegen die Frage hier.. ich habe mal zusammengefasst was man weiss:
Sei [mm] \left[K:\IQ\right] [/mm] = n. Dann existiert eine Basis [mm] (a_{1},...,a_{n}) [/mm] s.d. [mm] \mathcal{O}_{K} [/mm] = [mm] \bigoplus\limits_{i=1}^{n}{a_{i}\IZ}. [/mm] Was nun zu zeigen ist, ist dass es eine basis [mm] (b_{1},...,b_{n}) [/mm] mit [mm] b_{1} [/mm] = 1 (per Konvention), s.d. [mm] \mathcal{O}_{K} [/mm] = [mm] \bigoplus\limits_{i=1}^{n}{b_{i}\IZ}
[/mm]
Nun, [mm] \mathcal{O}_{K} [/mm] besteht aus allen Elementen in K, die sich schreiben lassen als x = [mm] \sum\limits_{i=1}^{n}{a_{i}x_{i}} [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^{n}{b_{i}x_{i}'} [/mm] mit [mm] a_{i},b_{i} \in \IZ, x_{i},x_{i}' \in \mathcal{O}_{K}. [/mm] (Naja, Definition der "integral basis"...).
Dann weiss ich natürlich noch was über das Minimal- bzw. Charakteristische Polynom von [mm] \alpha, [/mm] falls K = [mm] \IQ(\alpha), [/mm] was die Koeffizienten angeht.. doch ich weiss leider nicht, welchen Ansatz mich hier zum Ziel führt.. (ich glaube etwas über [mm] \alpha [/mm] auszusagen ist hier nicht notwendigerweise hilfreich, da [mm] \alpha [/mm] ja irgendwas sein darf..). Ich meine, an den Summen da oben sieht man eigentlich, dass es so eine Basis geben muss.. doch wie erarbeitet man sie formell?
Für jeden Tipp bin ich dankbar! :)
Grüsse, Arcesius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:26 Sa 22.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen!
> Ich würde gerne beweisen, dass für einen beliebigen
> Zahlkörper K, der Ganzheitsring [mm]\mathcal{O}_{K}[/mm] eine
> "integral basis" (ganze Basis??) besitzt, die 1 enthält.
>
> Ich weiss nicht ganz womit ich arbeiten muss, deswegen die
> Frage hier.. ich habe mal zusammengefasst was man weiss:
>
> Sei [mm]\left[K:\IQ\right][/mm] = n. Dann existiert eine Basis
> [mm](a_{1},...,a_{n})[/mm] s.d. [mm]\mathcal{O}_{K}[/mm] =
> [mm]\bigoplus\limits_{i=1}^{n}{a_{i}\IZ}.[/mm] Was nun zu zeigen
> ist, ist dass es eine basis [mm](b_{1},...,b_{n})[/mm] mit [mm]b_{1}[/mm] = 1
> (per Konvention), s.d. [mm]\mathcal{O}_{K}[/mm] =
> [mm]\bigoplus\limits_{i=1}^{n}{b_{i}\IZ}[/mm]
Beachte, dass du [mm] $(b_1, \dots, b_n)^T [/mm] = A [mm] (a_1, \dots, a_n)^T$ [/mm] schreiben kannst mit einer Matrix $A [mm] \in GL_n(\IZ)$, [/mm] sprich [mm] $\det [/mm] A = [mm] \pm [/mm] 1$.
Du musst also beweisen, dass es eine solche Matrix ist.
Fange mit der ersten Zeile an: fuer diese muss gelten $1 = [mm] \sum_{i=1}^n a_{1,i} a_i$. [/mm] Solche [mm] $a_{1,i}$ [/mm] kannst du immer waehlen. Beachte, dass die Zeile primitiv ist, d.h. wenn du die ganze Zeile durch eine natuerliche Zahl $> 1$ teilst, ist mindestens ein Eintrag keine ganze Zahl mehr (oder anders gesagt, der ggT aller Elemente ist 1).
Du musst zeigen, dass du einen solchen Vektor mit Eintraegen in [mm] $\IZ$ [/mm] zu einer ueber [mm] $\IZ$ [/mm] invertierbaren Matrix fortsetzen kannst.
Das ist sozusagen ein Lineare-Algebra-Problem  Ich vermute, du kannst hier mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus etwas konstruktiv machen.
LG Felix
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Danke Felix :)
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> Du musst zeigen, dass du einen solchen Vektor mit
> Eintraegen in [mm]\IZ[/mm] zu einer ueber [mm]\IZ[/mm] invertierbaren Matrix
> fortsetzen kannst.
Gut.. das heisst ich stelle einfach für i [mm] \ge [/mm] 2 die restlichen [mm] \beta_{i} [/mm] = [mm] \sum\limits_{j=1}^{n}{c_{ij}a_{j}} [/mm] dar und muss einfach zeigen, dass die Zeilen [mm] (c_{1j},...,c_{nj}) [/mm] für alle j linear unabhängig sind.. oder?
Da muss ich noch ein bisschen überlegen, wie man das anstellen kann.. aber meinst du mit "fortsetzen", dass ich die restlichen Zeilen in Abhängigkeit der ersten kriegen kann??
>
> Das ist sozusagen ein Lineare-Algebra-Problem Ich
> vermute, du kannst hier mit dem erweiterten euklidischen
> Algorithmus etwas konstruktiv machen.
>
Hüch? Das sehe ich jetzt nicht ganz.. Für was brauche ich das denn? Selbst wenn ich alle Zeilen so konstruieren könnte, so dass sie primitiv sind, müssen sie nicht unbedingt linear unabhängig sein, oder sehe ich da was falsch? Ich glaube, die restlichen Zeilen ausser die erste müssen ja nichtmal unbedingt primitiv sein.. hängt ja von den [mm] \beta_{i}'s [/mm] ab.. ja? :)
> LG Felix
>
Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mo 24.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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