Basis lineare Unabhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 So 02.12.2012 | | Autor: | Zero_112 |
| Aufgabe | Sei [mm] V_n [/mm] := [mm] \IC[/mm] [t]_n der [mm] \IC-Vektorraum [/mm] der Polynome mit komplexen Koeffizienten und Grad [mm] \le [/mm] n. [mm] (n\in\IN_{>0})
[/mm]
Stellt { [mm] 1,x-1,(x-1)²,...,(t-1)^n [/mm] } eine Basis von [mm] V_n [/mm] dar? |
Ich muss ja mitunter zeigen, dass die Vektoren linear unabhängig sind, d.h. dass sie sich nur trivial linear kombinieren lassen:
[mm] \lambda_0 [/mm] 1 + [mm] \lambda_1*(x-1) [/mm] + [mm] \lambda_2*(x-1)²+...+\lambda_n*(x-1)^n [/mm] = 0 (Nullpolynom)
Wie zeige ich nun, dass lineare Unabhängigkeit vorliegt? Kann man sagen, dass sich das Nullpolynom nur darstellen lässt, wenn alle Koeffizienten [mm] \lambda [/mm] beider Polynome gleich sind? Das wäre ja nur der Fall, wenn [mm] \lambda_i [/mm] , [mm] i\in\IN, [/mm] gleich 0 wäre...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 So 02.12.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Zero_112
> Sei [mm]V_n[/mm] := [mm]\IC[/mm] [t]_n der [mm]\IC-Vektorraum[/mm] der Polynome mit komplexen Koeffizienten und Grad [mm]\le[/mm] n. [mm](n\in\IN_{>0})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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> Stellt { [mm]1,x-1,(x-1)²,...,(t-1)^n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} eine Basis von [mm]V_n[/mm] dar?
> Ich muss ja mitunter zeigen, dass die Vektoren linear unabhängig sind, d.h. dass sie sich nur trivial linear kombinieren lassen:
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> [mm]\lambda_0[/mm] 1 + [mm]\lambda_1*(x-1)[/mm] + [mm]\lambda_2*(x-1)²+...+\lambda_n*(x-1)^n[/mm] = 0 (Nullpolynom)
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> Wie zeige ich nun, dass lineare Unabhängigkeit vorliegt? Kann man sagen, dass sich das Nullpolynom nur darstellen lässt, wenn alle Koeffizienten [mm]\lambda[/mm] beider Polynome gleich sind? Das wäre ja nur der Fall, wenn [mm]\lambda_i[/mm] , [mm]i\in\IN,[/mm] gleich 0 wäre...
Welche beiden Polynome meinst Du? Auf jeden Fall kannst Du sagen, daß ein komplexes Polynom vom Grad n höchstens n verschiedene Nullstellen hat. (Es hat sogar genau n Nullstellen, wenn man Mehrfachnullstellen mehrfach zählt.) Wenn jetzt zwei Polynome p und q auf ganz [mm] $\IC$ [/mm] übereinstimmen, so hat deren Differenz $f$ unendliche viele Nullstellen. In jeder Darstellung von $f$ als Polynom müssen alle Koeffizienten verschwinden. Das heißt, die Koeffizienten von p und q stimmen überein.
Gruß,
Wolfgang
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