Basis für Polynome < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 Sa 02.12.2006 | | Autor: | feri |
Hallo ,
könnte jemand mir helfen, wie ich eine Basis für w={ f Є R[X] dimension=3 ; sodass f(-1)=f(1)=f(2)=0 }
finden kann ?
ich weiß es allerdings dass für R[X],d=3, { 1 , X , [mm] X^2 [/mm] , [mm] X^3 [/mm] } eine Basis ist.
Danke im Vorraus;
feri
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:42 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin feri!
Erstomol Respekt in dem Alter nochn Studuim anfangen!
Aber zur Aufgabe.
Kann sein das ich mich irre aber vielleicht solltest du nochmal nach´prüfen, ob du nicht dimension und grad der Polynome verwechselst.
[mm] \IR[X] [/mm] ist schließlich nicht endlich erzeugt was im Widerspruch zur Aussage der 3. Dimension steht.
3. Dimension heißt doch desweiteren das das Erzeugendensystem aus drei Vektoren besteht was ein Widerspruch zu deiner angegebenen Basis ist die aus 4 Vektoren besteht.
Denke also das du eine Funktion $f$ suchst, [mm] $f\in\IR[X] grad\le [/mm] 3$ mit $f(1)=f(-1)=f(2)=0$.
Du könntest doch versuchen aus der Nebenbedingung und der Standartbasis ein LGS zu basteln und dieses dann lösen.
Da ich mir jedoch selbst nicht sicher bin belasse ich den Status bei unbeantwortet.
MfG
Sashman
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:07 Sa 02.12.2006 | | Autor: | feri |
es tut mir Leid. da habe ich falsch geschrieben, Dimension ist falsch! das ist degree=3 oder <=3
R[X],d=3
sorry,sorry !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:28 Sa 02.12.2006 | | Autor: | feri |
Danke sashman!;)
ich weiß nicht ob ich dir richtig verstanden habe,
die standard Basis ist { 1, X , [mm] X^2 [/mm] , [mm] X^3 [/mm] }
du meinst, ich sollte in [mm] a0+a1(X)+a2(X^2)+a3(X^3)=0 [/mm] X=1 , -1, 2 einsetzen und dann das GLS lösen? oder meintest du anderes?
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Hi, feri,
> Hallo ,
> könnte jemand mir helfen, wie ich eine Basis für w={ f
> Є R[X] dimension=3 ; sodass f(-1)=f(1)=f(2)=0 }
> finden kann ?
> ich weiß es allerdings dass für R[X],d=3, { 1 , X , [mm] X^2 [/mm] , [mm] X^3 [/mm] } eine Basis ist.
Also nach Deinen Mitteilungen handelt es sich um den Vektorraum der reellen Polynome vom Grad höchstens 3.
Und Du sollst nun denjenigen Unterraum bestimmen (bzw. dessen Basis), der diejenigen Polynome enthält, deren Nullstellen 1, -1 und 2 sind.
Letztere Polynome haben folgendes Aussehen:
f(x) = k*(x+1)(x-1)(x-2)
oder
f(x) = [mm] k*(x^{3}-2x^{2}-x+2)
[/mm]
Demnach ist dies eine 1-parametrige Schar, was wiederum zum Ergebnis führt: Dieser Unterraum hat die Dimension 1 und es genügt, einen Basisvektor anzugeben. Naja: Da nehmen wir halt gleich den Funktionsterm aus der Klammer!
Basis: [mm] \{ x^{3}-2x^{2}-x+2 \}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:14 So 03.12.2006 | | Autor: | feri |
aber wie kann ich beweisen ,dass für w keine andere basis existiert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 So 03.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
eine Basis (die nicht leer ist, falls man sowas erlaubt hat) ist niemals eindeutig, denn sei v ein Basisvektor, dann kann man ihn auch einfach durch (k*v) mit k beliebig ersetzen... (warum?)
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:30 So 03.12.2006 | | Autor: | feri |
okay, Danke,
jetzt ist alles klar. hab verstanden :)
danke nochmal
viele Grüße
feri ;)
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