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| Aufgabe | Bestimme die Jordannormalform [mm]J_B[/mm] und eine Matrix [mm]T \in GL(5;\IR)[/mm] mit [mm]T^{-1}BT=J_B[/mm] für folgende reelle Matrix
[mm]B=\pmat{
3 & 1 & 0 & 1 & -2 \\
1 & 3 & -1 & 0 & 1 \\
-1 & -1 & 4 & 3 & -3 \\
1 & 1 & -1 & 2 & 1 \\
-2 & -2 & 2 & 2 & 1 }[/mm]
wobei [mm]B[/mm] in [mm]\IR[/mm] genau die Eigenwerte 2 und 3 besitzt. |
Ich habe ausgerechnet:
[mm]Eig_B(2) = <\pmat{\frac{5}{2} \\ 0 \\ \frac{7}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 1},
\pmat{0 \\ \frac{5}{2} \\ \frac{7}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 1}>[/mm]
Zudem:
[mm]Eig_B(3) = <\pmat{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1}, \pmat{0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}>[/mm].
Jetzt weiß ich, es gibt 2 Kästchen zum Eigenwert 2 und 2 Kästchen zum Eigenwert 3 (wegen eben der geometrischen Vielfachheit). Also gibt es genau 1 2x2-Kästchen.
Ich habe nachgerechnet und beim Eigenwert 3 wird das 2x2-Kästchen sein, wegen: [mm]Rang((B-3*E_5)^1) \not= Rang((B-3*E_5)^2)[/mm].
Also ist die Jordannormalform: [mm]
\pmat{
2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\
}[/mm].
Nun will ich dazu die Jordan-Basis konstruieren:
Die Basis soll folgende sein: [mm](t_1, t_2, t_3, t_4, t_5)[/mm]. Nun... [mm]t_1[/mm] bis [mm]t_4[/mm] kenne ich ja schon, da gelten muss:
[mm]B*t_1 = 2*t_1[/mm],
[mm]B*t_2 = 2*t_2[/mm],
[mm]B*t_3 = 3*t_3[/mm],
[mm]B*t_4 = 3*t_4[/mm].
Das sind aber genau die Eigenvektoren. Also gilt:
[mm]t_1 = \pmat{\frac{5}{2} \\ 0 \\ \frac{7}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 1},
t_2 =\pmat{0 \\ \frac{5}{2} \\ \frac{7}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 1},
t_3 = \pmat{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1},
t_4 = \pmat{0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
Jetzt müsste ich nur noch [mm]t_5[/mm] bestimmen. Für dieses gilt die Gleichung: [mm]B*t_5 = 3*t_5 + 1*t_4 \gdw (B-3*E_5)*t_5 = t_4[/mm]. Diese Gleichung habe ich nicht geschafft zu lösen. Hat diese Gleichung wirklich keine Lösung? Warum?
Aber naja... ich habe noch etwas anderes versucht. Ich müsste [mm]t_5[/mm] ja auch aus dem Kern von [mm]Hau(B, 3)[/mm] ergänzen können.
Ich habe ausgerechnet: [mm]Hau(B, 3) = <\pmat{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1}, \pmat{0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}, \pmat{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1}>[/mm]. Die ersten 2 Vektoren habe ich ja schon. Deswegen habe ich mit dem 3. ergänzt.
Nun ist bei mir [mm]T = (t_1, t_2, t_3, t_4, t_5) = \pmat{
\frac{5}{2} & 0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & \frac{5}{2} & 1 & 1 & 0 \\
\frac{7}{2} & \frac{7}{2} & 0 & 1 & 1 \\
-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1
}[/mm].
Wenn ich nun aber ausrechne [mm]T^{-1}B*T = \pmat{
2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 3 & 0 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 3 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\
}[/mm], sehe ich, dass da wohl in der letzten Spalte etwas nicht stimmt. Also ist mein ergänzter Vektor falsch. Aber warum?
Hoffe, ihr könnt mir helfen.
Mfg,
Christoph
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> Jetzt müsste ich nur noch [mm]t_5[/mm] bestimmen. Für dieses gilt
> die Gleichung: [mm]B*t_5 = 3*t_5 + 1*t_4 \gdw (B-3*E_5)*t_5 = t_4[/mm].
> Diese Gleichung habe ich nicht geschafft zu lösen. Hat
> diese Gleichung wirklich keine Lösung? Warum?
Hallo,
diese Gleichung hat bestimmt eine Lösung.
Könnte es sein, daß Du darüber gestrauchelt bist, daß sie mehr als eine Lösung hat?
Du suchst Dir in dem Fall eine Lösung aus, die Dir gefällt.
>
> Aber naja... ich habe noch etwas anderes versucht. Ich
> müsste [mm]t_5[/mm] ja auch aus dem Kern von [mm]Hau(B, 3)[/mm] ergänzen
> können.
Ich habe nichts nachgerechnet (wg. zu mühsam).
Du kannst es so machen:
nimm Dir einen Hauptraumvektor [mm] t_5 [/mm] aus [mm] Kern(B-3E)^2, [/mm] , der nicht im Eigenraum Kern(B-3E) ist.
Jetzt läuft die Sache "rückwarts": als [mm] t_4 [/mm] kannst Du [mm] t_4=(B-3E)t_5 [/mm] nehmen, dieser Vektor ist in Kern(B-3E), also Eigenvektor.
Als [mm] t_3 [/mm] nimm einen passenden Eigenvektor, der die beiden ergänzt.
Gruß v. Angela
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