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| Aufgabe | Seien [mm] M=\IR^{2}\backslash\{0\} [/mm] und [mm] \phi [/mm] wie in H10.4.(i)(Bem.: [mm] \phi^{-1}(r,\theta)=(r*cos\theta,r*sin\theta)). [/mm]
Weiter sei [mm] \omega (x)=-x^{2}dx^{1}+x^{1}dx^{2} [/mm] bzgl. der Standardkoordinaten [mm] x=(x^{1},x^{2}) [/mm] auf [mm] \IR^{2}.
[/mm]
i) Drücken Sie [mm] \omega [/mm] in der Basis dr, [mm] d\theta [/mm] bzgl. [mm] \phi [/mm] aus.
ii) Berechnen Sie [mm] \integral_{c}\omega [/mm] für den Weg [mm] c:[0,2\pi]\rightarrow [/mm] M, t [mm] \longmapsto [/mm] (cos t, sin t). |
Hallo
i) Laut Musterlösung gilt:
Auf dem Übungsblatt XX haben wir schon
[mm] \bruch{\partial}{\partial r}=cos\theta\bruch{\partial}{\partial x^{1}}+sin\theta\bruch{\partial}{\partial x^{2}}=\bruch{x^{1}}{r}\bruch{\partial}{\partial x^{1}}+\bruch{x^{2}}{r}\bruch{\partial}{\partial x^{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial}{\partial \theta}=-r*sin\theta\bruch{\partial}{\partial x^{1}}+r*cos\theta\bruch{\partial}{\partial x^{2}}=-x^{2}\bruch{\partial}{\partial x^{1}}+x^{1}\bruch{\partial}{\partial x^{2}}
[/mm]
ausgerechnet. Somit folgt [mm] \omega(\bruch{\partial}{\partial r})=0 [/mm] und [mm] \omega(\bruch{\partial}{\partial\theta})=(x^{1})^{2}+(x^{2})^{2}=r^{2}, [/mm] d.h. [mm] \omega [/mm] = [mm] r^{2} d\theta
[/mm]
Also, wenn ich mal ganz ehrlich bin, versteh ich überhaupt nicht, was da passiert, geschweige denn ausgerechnet wird. Kann mir jemand vllt kurz erläutern, was dort wie gemacht wird? Würde mich sehr freuen 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:33 Mo 02.02.2015 | | Autor: | huddel |
hey derriemann,
Bei dieser Lösung wird versucht die Basisvektoren [mm] $\frac{\partial}{\partial r}$ [/mm] und [mm] $\frac{\partial}{\partial \Theta}$ [/mm] mit hilfe der Basis [mm] $\frac{\partial}{\partial x_1}$ [/mm] und [mm] $\frac{\partial}{\partial x_1}$ [/mm] aus zu rechnen.
Dabei ist [mm] $x_1 [/mm] = r [mm] cos(\Theta)$ [/mm] und [mm] $x_2 [/mm] = r [mm] sin(\Theta)$.
[/mm]
Bevor ich jetzt versuch zu erklären, wie diese Lösung genau aufgebaut ist, schlage ich vor ich zeig dir einen "anderen" Lösungsweg (naja im Grunde macht er genau das gleiche...), bei dem Vllt. klarer wird, was passiert:
Wir wissen [mm] $x_1 [/mm] = r [mm] cos(\Theta)$ [/mm] und [mm] $x_2 [/mm] = r [mm] sin(\Theta)$ [/mm] und [mm] $\omega [/mm] = [mm] -x_2 dx_1 [/mm] + [mm] x_1 dx_2$. [/mm] Setz doch einfach mal plump ein, was du hast und rechne es aus:
[mm] $\omega(r cos\Theta, [/mm] r [mm] sin\Theta)= [/mm] -r [mm] sin\Theta [/mm] d(r [mm] cos\Theta) [/mm] + r [mm] cos\Theta [/mm] d(r [mm] sin\Theta)$
[/mm]
$= -r [mm] sin\Theta (cos\Theta [/mm] dr - [mm] rsin\Theta d\Theta) [/mm] + [mm] rcos\Theta(sin\Theta [/mm] dr + [mm] rcos\Theta d\Theta)$
[/mm]
$= [mm] -rcos\Theta sin\Theta [/mm] dr + [mm] r^2sin^2\Theta d\Theta [/mm] + [mm] rcos\Theta sin\Theta [/mm] dr + [mm] r^2cos^2\Theta d\Theta$ [/mm]
$= [mm] r^2(sin^2\Theta [/mm] + [mm] cos^2\Theta)d\Theta [/mm] = [mm] r^2 d\Theta$
[/mm]
Also im Grunde leitest du alles in alle Richtungen ab und guckst was bei rauskommt. Im Grunde machst du genau das oben auch, blos dass du da jeden Vektor einzeln zusammenbaust und dir das bei der Lösung die Definition des totalen Differentials schon übernimmt.
Wenn du die andere Lösung noch enauer erklärt haben möchtest sag doch nochmal bescheid :)
LG
Huddel
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Super, i) hab ich verstanden
Aber bei ii) weiss ich nicht so recht, wie dort das Integral berechnet wird.
[mm] \integral_{c}\omega=\integral_{0}^{2\pi}r^{2}d\theta [/mm] dt? Oder wie wurde das berechnet? Irgendwie weiss ich nicht, wieso [mm] \omega [/mm] = 1 ist, da doch in i) etwas anders gezeigt wurde..? Da fehlen mir einfach zu viele oder ein wichtiger Zwischenschritt, der das alles ein wenig verständlicher machen könnte........
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Mo 02.02.2015 | | Autor: | huddel |
Sehr schön,
Zur zweiten weiß ich jetzt nicht ganz, wie du auf [mm] $\omega [/mm] =1$ kommst. Das Integral, was du angegen hast ist schon richtig, nur sollte man noch sagen, wie man darauf kommt. Guck dir mal an, was deine Abbildung [mm] $\Phi$ [/mm] Mit [mm] $(rcos\Theta [/mm] , [mm] rsin\Theta)$ [/mm] macht und setz dann mal $ c $ in [mm] $\Phi$ [/mm] ein. Dann guck dir die Definition des Kurvenintegrals an und setz einfach mal ein, was du hast. Dann sollte relativ klar sein, was da passiert. Ich sitz grad am tablet daher schwer ne ausführliche Antwort zu schreiben, aber das schaffst du auch selbst :)
Schreib mir einfach mal, auf was du so kommst.
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Ok, also ich hab das jetzt so gelöst:
[mm] c(t)=\vektor{cos(t) \\ sin(t)}
[/mm]
[mm] c'(t)=\vektor{ -sin(t) \\ cos(t)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral_{c} \omega [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi}<\omega(c(t)),(c'(t))>dt [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi}<\vektor{ -sin(t) \\cos(t)}, \vektor{ -sin(t) \\cos(t)}>dt=\integral_{0}^{2\pi}sin^{2}(t)+cos^{2}(t)dt=\integral_{0}^{2\pi} [/mm] 1 dt = [mm] 2\pi
[/mm]
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:20 Mi 04.02.2015 | | Autor: | huddel |
Jo ist richtig
wenn du es so machen möchtest, wie es wohl gedacht war, bemerkt man, dass [mm] $\Phi (rcos\Theta, rsin\Theta) [/mm] = [mm] (r,\Theta)$ [/mm] und somit [mm] $\Phi(c(t)) [/mm] = (1,t)$ ist. Dann setzt man das in die Definition des Integrals ein mit dem [mm] $\omega$ [/mm] welches wir ja schon in den anderen Koordinaten ausgerechnet haben und erhalten:
[mm] $\integral_{\Phi\circ c} \omega [/mm] = [mm] \integral_{\Phi\circ c} r^2 d\Theta [/mm] = [mm] \integral_0^{2\pi} 1^2 d\Theta [/mm] = [mm] 2\pi$
[/mm]
Ist zwar insgesammt wohl einmal mit der Kirche ums Dorf, aber naja :D
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