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| Aufgabe | Sei [mm] u_1=\vektor{0\\1\\2\\2}, u_2=\vektor{2\\2\\4\\4}, u_3=\vektor{0\\1\\0\\1}
[/mm]
Wenden Sie das Gram-Schmidt-Verfahren auf [mm] u_1 [/mm] bis [mm] u_3 [/mm] an und ergänzen Sie das Resultat zu einer Basis des [mm] \IR^4 [/mm] |
Hallo zusammen!
Bei der Aufgabe will mir nicht so recht einfallen, wie ich die Ergänzung durchführen muss.
Gram-Schmidt hat die ONB [mm] \{ \vektor{0\\\bruch{1}{3}\\\bruch{2}{3}\\\bruch{2}{3}}, \vektor{1\\0\\0\\0},\vektor{0\\\bruch{2}{3}\\\bruch{2}{3}\\\bruch{1}{3}}\} [/mm] ergeben.
Wie komm ich jetzt auf einen Vektor, der orthogonal zu den dreien ist?
Gruß,
Honko
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> Sei [mm]u_1=\vektor{0\\1\\2\\2}, u_2=\vektor{2\\2\\4\\4}, u_3=\vektor{0\\1\\0\\1}[/mm]
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> Wenden Sie das Gram-Schmidt-Verfahren auf [mm]u_1[/mm] bis [mm]u_3[/mm] an
> und ergänzen Sie das Resultat zu einer Basis des [mm]\IR^4[/mm]
> Hallo zusammen!
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> Bei der Aufgabe will mir nicht so recht einfallen, wie ich
> die Ergänzung durchführen muss.
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> Gram-Schmidt hat die ONB [mm]\{ \vektor{0\\\bruch{1}{3}\\\bruch{2}{3}\\\bruch{2}{3}}, \vektor{1\\0\\0\\0},\vektor{0\\\bruch{2}{3}\\\bruch{2}{3}\\\bruch{1}{3}}\}[/mm]
> ergeben.
> Wie komm ich jetzt auf einen Vektor, der orthogonal zu den
> dreien ist?
Hallo,
Orthogonalität hat was mit dem Skalarprodukt zu tun.
Du suchst einen Vektor, der zu Deinen drei Vektoren orthogonal ist.
Das ergibt ein LGS.
Gruß v. Angela
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> Gruß,
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> Honko
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> Hallo,
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> Orthogonalität hat was mit dem Skalarprodukt zu tun.
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> Du suchst einen Vektor, der zu Deinen drei Vektoren
> orthogonal ist.
>
> Das ergibt ein LGS.
>
> Gruß v. Angela
Öhm... Danke für die Antwort. Da gibts nur ein Problem:
Honko [mm] \in [/mm] {Menschen, die schwer von Begriff sind} 
Könntest du das noch ein wenig erläutern?
Gruß, Honko
edit: Ich glaub, es hat bei mir gescheppert:
Meinst du, dass auf den 4. Vektor komme, indem ich ein LGS mit den Skalarprodukten aus je einem bekannten Vektor und dem unbekannten Vektor aufstelle? Dann hab ich aber drei Gleichungen mit 4 Unbekannten...
edit(2): Das LGS wäre dann
[mm] \pmat{ 0 & \bruch{1}{3} & \bruch{2}{3} & \bruch{2}{3}\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \bruch{2}{3} & \bruch{2}{3} & \bruch{1}{3}}\vec{x}=\vec{0},
[/mm]
umgeformt zur oberen Dreiecksmatrix:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & \bruch{3}{2}}\vec{x}=\vec{0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_4=\lambda, x_3=-\bruch{3}{2}\lambda, x_2=\lambda, x_1=0
[/mm]
[mm] \gdw \vec{x}=\lambda\vektor{0\\1\\-\bruch{3}{2}\\1}
[/mm]
Bin ich auf dem richtigen Weg?
edit(3):
weil [mm] |\vec{x}|=1 [/mm] sein soll (wegen ONB), müsste [mm] \lambda=\bruch{2}{\sqrt{17}} [/mm] sein
[mm] \Rightarrow \vec{x}=\vektor{0\\\bruch{2}{\sqrt{17}}\\-\bruch{3}{\sqrt{17}}\\\bruch{2}{\sqrt{17}}}
[/mm]
Stimmt das? Die Lösung kommt mir doch reichlich krumm vor...
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[mm] Hallo,\\
[/mm]
wahrscheinlich hast du nur einen Schreibfehler (Minuszeichen fehlt) beim Vektor [mm] $(0,\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3})^T$ [/mm] gemacht.
Dein vierter Vektor ist deshalb ein Folgefehler. Er lautet korrekt [mm] $(0,\frac{2}{3},\frac{1}{3},-\frac{2}{3})^T$.
[/mm]
Gruß mathfunnel
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Och, solange der Lösungsweg stimmt, bin ich glücklich ^^
Danke für die Hilfe!
Gruß, Honko
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