Basis eines Vektorraums < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Sa 09.02.2013 | | Autor: | locke123 |
| Aufgabe | Gegeben seien die Vektoren [mm] v_{1} [/mm] = (1, −1, 2) und [mm] v_{2} [/mm] = (2, 2, −4) im [mm] \IR^{3} [/mm] .
(a) Ergänzen Sie [mm] (v_{1} [/mm] , [mm] v_{2} [/mm] ) zu einer Basis B = [mm] (v_{1} [/mm] , [mm] v_{2} [/mm] , [mm] v_{3} [/mm] ) des [mm] \IR^{3} [/mm] .
a
(b) Sei E = [mm] (e_{1} [/mm] , [mm] e_{2} [/mm] , [mm] e_{3} [/mm] ) die Standardbasis des [mm] \IR^{3} [/mm] . Bestimmen Sie die Basiswechselmatrizen [mm] T_{B}^{E} [/mm] und [mm] T_{E}^{B}. [/mm] |
Bei (a) habe ich versucht mit einem Einheitsvektor und zwar [mm] v_{3} [/mm] = (0,0,1) eine Basis zu bilden. Das ist mir "gelungen" also ich habe die lineare Unabhängigkeit gezeigt. Eigentlich wäre ich ja im Prinzip schon fertig. Aus "Spaß" habe ich versucht [mm] v_{3} [/mm] = (0,1,0) zu wählen und nun die lineare Unabhängigkeit zu zeigen, welche doch eigentlich nicht "funktionieren" sollte, es hat geklappt und nun macht mich das ein wenig stutzig, das sollte doch eigentlich nicht funktionieren, weil wenn der erste Fall schon gelungen ist, sollte doch der zweite Fall nicht mehr gehen, oder? Da ich doch dann diesen Vektor als Linearkombination der anderen darstellen könnte, wenn der erste Fall schon gilt. Oder ich habe mich verrechnet, aber ich glaub' nicht.
Vielleicht hänge ich auch gerade irgendwie, war schon ein langer Lerntag.
Viele Grüße
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Hallo,
> Gegeben seien die Vektoren [mm]v_{1}[/mm] = (1, −1, 2) und [mm]v_{2}[/mm] =
> (2, 2, −4) im [mm]\IR^{3}[/mm] .
>
> (a) Ergänzen Sie [mm](v_{1}[/mm] , [mm]v_{2}[/mm] ) zu einer Basis B =
> [mm](v_{1}[/mm] , [mm]v_{2}[/mm] , [mm]v_{3}[/mm] ) des [mm]\IR^{3}[/mm] .
>
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> (b) Sei E = [mm](e_{1}[/mm] , [mm]e_{2}[/mm] , [mm]e_{3}[/mm] ) die Standardbasis des
> [mm]\IR^{3}[/mm] . Bestimmen Sie die Basiswechselmatrizen [mm]T_{B}^{E}[/mm]
> und [mm]T_{E}^{B}.[/mm]
> Bei (a) habe ich versucht mit einem Einheitsvektor und
> zwar [mm]v_{3}[/mm] = (0,0,1) eine Basis zu bilden. Das ist mir
> "gelungen" also ich habe die lineare Unabhängigkeit
> gezeigt. Eigentlich wäre ich ja im Prinzip schon fertig.
> Aus "Spaß" habe ich versucht [mm]v_{3}[/mm] = (0,1,0) zu wählen
> und nun die lineare Unabhängigkeit zu zeigen, welche doch
> eigentlich nicht "funktionieren" sollte, es hat geklappt
> und nun macht mich das ein wenig stutzig, das sollte doch
> eigentlich nicht funktionieren, weil wenn der erste Fall
> schon gelungen ist, sollte doch der zweite Fall nicht mehr
> gehen, oder?
Doch, das kann funktionieren!
Um das einzusehen, solltest du eventuell noch "eine Dimension weiter runter gehen":
In [mm] $\IR^2$ [/mm] kann man zum Beispiel [mm] $v_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}$ [/mm] sowohl mit [mm] $e_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}$ [/mm] als auch mit [mm] $e_2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}$ [/mm] zu einer Basis ergänzen.
> Da ich doch dann diesen Vektor als
> Linearkombination der anderen darstellen könnte, wenn der
> erste Fall schon gilt. Oder ich habe mich verrechnet, aber
> ich glaub' nicht.
Welchen Vektor kannst du dann als Linearkombination der anderen darstellen? Natürlich kannst $(0,1,0)$ in der Basis [mm] v_1,v_2,(1,0,0) [/mm] darstellen. Aber deswegen kann doch trotzdem [mm] v_1,v_2(0,1,0) [/mm] eine Basis bilden?
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:43 So 10.02.2013 | | Autor: | locke123 |
Vielen Dank, hat mir weiter geholfen  .
Viele Grüße
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