Basis einer Topologie < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:02 Mi 30.05.2012 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | (X,d) sei ein metrischer Raum. Zeigen Sie:
$ [mm] \mathcal{B}=\{B_{\delta}(x) \ | \ x\in X, \ \delta=\bruch{1}{k}, \ k\in\IN\} [/mm] $ ist eine Basis der von d induzierten Topologie auf X. |
Die Frage wurde hier schon gestellt. Leider ist der Thread recht lang und daher teile ich ihn jetzt in 3 einzelne Fragen auf.
Hier dachte ich daran, dass die [mm] B_{\delta}(x) [/mm] ja den ganzen Raum überdecken, also gibt es auch eine offene Überdeckung für jede beliebige Teilmenge.
So wirklich sicher bin ich mir da aber nicht, daher würde ich mich über jeden Tipp freuen.
Vielen Dank und lieben Gruß,
chesn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:13 Mi 30.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Zeigen mußt Du:
1. jedes Element von [mm] \mathcal{B} [/mm] ist offen.
2. ist G offen in X, so lässt sich G als Vereinigung von Mengen aus [mm] \mathcal{B} [/mm] darstellen.
1. sollte kein Problem sein.
Zu 2.: ist x [mm] \in [/mm] G, so ex. ein [mm] \delta(x)>0 [/mm] mit [mm] B_{\delta(x)}(x) \subseteq [/mm] G
Wähle k(x) [mm] \in \IN [/mm] so, dass [mm] \bruch{1}{k(x)} \le \delta(x)
[/mm]
Dann ist G= [mm] \bigcup_{??}^{}??
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 Mi 30.05.2012 | | Autor: | chesn |
Hallo! Bin noch etwas unsicher, darum poste ich nochmal meine Lösung zur Korrektur:
1) Jedes Element von [mm] \mathcal{B} [/mm] ist offen:
Sei [mm] y\in B_{\delta}(x) \subset \mathcal{B}. [/mm] Dann ist [mm] d(x,y)<\delta [/mm] also existiert ein [mm] \epsilon>0 [/mm] mit [mm] d(x',y)<\epsilon [/mm] für alle [mm] x'\in\partial B_{\delta(x)} [/mm] d.h. zwischen [mm] y\in B_{\delta}(x) [/mm] und x' auf dem Rand von [mm] B_{\delta}(x) [/mm] "passt" immer noch ein [mm] \epsilon [/mm] .
Ok so?
2) Habe deinen Ansatz etwas umformuliert. Sei $ [mm] G\subset [/mm] X $ offen. Sei weiter $ [mm] x_i\in [/mm] G $ dann existiert $ [mm] \delta_i>0 [/mm] $ mit $ [mm] B_{\delta_i}(x_i)\subseteq [/mm] G $.
Wähle [mm] k_i\in\IN, [/mm] so dass [mm] \bruch{1}{k_i}\le\delta_i [/mm] dann ist [mm] G=\bigcup_{i\in I}B_{\bruch{1}{k_i}}(x_i). [/mm] Oder wie kann ich die Grenzen bei der Vereinigung formulieren? Hab ich das soweit richtig verstanden?
Vielen Dank und lieben Gruß,
chesn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:44 Mi 30.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo! Bin noch etwas unsicher, darum poste ich nochmal
> meine Lösung zur Korrektur:
>
> 1) Jedes Element von [mm]\mathcal{B}[/mm] ist offen:
>
> Sei [mm]y\in B_{\delta}(x) \subset \mathcal{B}.[/mm] Dann ist
> [mm]d(x,y)<\delta[/mm] also existiert ein [mm]\epsilon>0[/mm] mit
> [mm]d(x',y)<\epsilon[/mm] für alle [mm]x'\in\partial B_{\delta(x)}[/mm] d.h.
> zwischen [mm]y\in B_{\delta}(x)[/mm] und x' auf dem Rand von
> [mm]B_{\delta}(x)[/mm] "passt" immer noch ein [mm]\epsilon[/mm] .
>
> Ok so?
Nein, Du hast nichts begründet !
>
> 2) Habe deinen Ansatz etwas umformuliert.
Das war keine gute Idee !
> Sei [mm]G\subset X[/mm]
> offen. Sei weiter [mm]x_i\in G[/mm] dann existiert [mm]\delta_i>0[/mm] mit
> [mm]B_{\delta_i}(x_i)\subseteq G [/mm].
> Wähle [mm]k_i\in\IN,[/mm] so dass
> [mm]\bruch{1}{k_i}\le\delta_i[/mm] dann ist [mm]G=\bigcup_{i\in I}B_{\bruch{1}{k_i}}(x_i).[/mm]
Was ist I ??
Ich wiederhole:
ist x $ [mm] \in [/mm] $ G, so ex. ein $ [mm] \delta(x)>0 [/mm] $ mit $ [mm] B_{\delta(x)}(x) \subseteq [/mm] $ G
Wähle k(x) $ [mm] \in \IN [/mm] $ so, dass $ [mm] \bruch{1}{k(x)} \le \delta(x) [/mm] $
Ende der Wiederholung.
Dann ist G= $ [mm] \bigcup_{x \in G}^{} B_{1/k(x)}(x) [/mm] $
FRED
> Oder wie kann ich die Grenzen bei der Vereinigung
> formulieren? Hab ich das soweit richtig verstanden?
>
> Vielen Dank und lieben Gruß,
> chesn
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:32 Mi 30.05.2012 | | Autor: | chesn |
Ups.. tausend Dank!
Nochmal kurz zur Offenheit: Es wäre doch zu zeigen, dass für [mm] y\in B_\delta(x) [/mm] ein [mm] \epsilon>0 [/mm] existiert, sodass [mm] B_\epsilon(y)\subset B_\delta(x).
[/mm]
es ist $ [mm] \delta\le [/mm] 1 $ und mit $ [mm] y\in B_\delta(x) [/mm] $ gilt $ [mm] d(x,y)<\delta\le [/mm] 1 $
Kann ich jetzt [mm] 0<\epsilon<1-d(x,y) [/mm] wählen oder so ähnlich?
Dann wäre [mm] B_\epsilon(y)\subset B_\delta(x) [/mm] ... oder wie stelle ich das an?
Danke und lieben Gruß,
chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:21 Mi 30.05.2012 | | Autor: | chesn |
huch.. quatsch. ersetze 1 mit [mm] \bruch{1}{k}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Fr 01.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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