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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Basis einer Matrix
Basis einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Basis einer Matrix: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:58 Sa 26.11.2011
Autor: Sogge93

Aufgabe
Ermitteln Sie je eine Basis von Kern und Bild der durch folgende Matrix beschriebenen Abbildung:

[mm] \pmat{ 3 & -6 & -5 & -3 \\ 6 & -9 & -6 & -3 \\ -5 & 3 & -1 & -2 \\ 0 & 6 & 8 & 6 } [/mm]

Hallo Community!

Ich sitzte gerade über obiger Aufgabe und weiß nicht so recht weiter. Bisher habe ich mir überlegt, dass ja der Kern einer Abbildung der Teil der Elemente ist, die auf 0 bzw. den Nullvektor abgebildet werden.
Also habe ich die Matrix wie ein homogeenes Gleichungssystem behandelt und nach einiger Rechnerei folgende Basis ermittelt

B= [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ 0 \\ 1} [/mm]

War das bisherige Vorgehen korrekt? Wenn ja, wie ist nun der Ansatz für das Finden einer Basis des Bildes?

Danke schon im Voraus für die Hilfe :-)

        
Bezug
Basis einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:24 Sa 26.11.2011
Autor: MathePower

Hallo Sogge93,

> Ermitteln Sie je eine Basis von Kern und Bild der durch
> folgende Matrix beschriebenen Abbildung:
>  
> [mm]\pmat{ 3 & -6 & -5 & -3 \\ 6 & -9 & -6 & -3 \\ -5 & 3 & -1 & -2 \\ 0 & 6 & 8 & 6 }[/mm]
>  
> Hallo Community!
>  
> Ich sitzte gerade über obiger Aufgabe und weiß nicht so
> recht weiter. Bisher habe ich mir überlegt, dass ja der
> Kern einer Abbildung der Teil der Elemente ist, die auf 0
> bzw. den Nullvektor abgebildet werden.
> Also habe ich die Matrix wie ein homogeenes
> Gleichungssystem behandelt und nach einiger Rechnerei
> folgende Basis ermittelt
>  
> B= [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm] , [mm]\vektor{-1 \\ -1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>  


Der erste Basisvekor des Kerns stimmt nicht.


> War das bisherige Vorgehen korrekt? Wenn ja, wie ist nun
> der Ansatz für das Finden einer Basis des Bildes?
>


Prüfe welche Spalten der Matrix  linear unabhängig sind.


> Danke schon im Voraus für die Hilfe :-)


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Basis einer Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:49 Sa 26.11.2011
Autor: Sogge93

Notiz an mich selbst: Beim Abschreiben der Matrizen auf Vorzeichen achten :-D

Der Basisvektor ist demnach [mm] \vektor{ -1 \\ -4/3 \\ 1 \\ 0} [/mm] .

Zum Überprüfen der Spalten kann ich ja auch die bereits umgeformte Matrix verwenden, in diesem Fall [mm] \pmat{ 3 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 3 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] , oder?



Bezug
                        
Bezug
Basis einer Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:23 Sa 26.11.2011
Autor: Sogge93

Es sind max. zwei lin. unabhängige Vektoren zu finden. Dies stimmt ja auch mit der Dimensionsformel überein. Kann ich jetzt irgendwelche zwei der vier Vektoren als Basis verwenden?

Bezug
                        
Bezug
Basis einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:30 Sa 26.11.2011
Autor: MathePower

Hallo Sogge93,

> Notiz an mich selbst: Beim Abschreiben der Matrizen auf
> Vorzeichen achten :-D
>  
> Der Basisvektor ist demnach [mm]\vektor{ -1 \\ -4/3 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> .


[ok]


>  
> Zum Überprüfen der Spalten kann ich ja auch die bereits
> umgeformte Matrix verwenden, in diesem Fall [mm]\pmat{ 3 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 3 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
> , oder?
>  


Natürlich, ja.  


Gruss
MathePower

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