Basis des R³ < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien im [mm] \IR^{3} [/mm] die folgenden Vektoren gegeben:
[mm] a_{1} = \vektor{3 \\ 5 \\ 2} , a_{2} = \vektor{1 \\ 1 \\ -1 }, a_{3} = \vektor{2 \\ 4 \\ 0 }, b_{1} = \vektor{ 1 \\ 3 \\ 0 }, b_{2} = \vektor{ -2 \\ 1 \\ 2} [/mm] .
1. Zeigen Sie, dass [mm]\{a_1, a_2, a_3\}[/mm] eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] bilden und dass die Vektoren [mm] \{ b_1, b_2 \} [/mm] linear unabhängig sind.
2. Tauschen Sie zwei der Vektoren [mm] a_1, a_2, a_3 [/mm] gegen [mm] b_1, b_2 [/mm] aus, so dass wieder eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] entsteht. |
Ich habe die Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
Ich habe problemlos rausbekommen, dass [mm] a_1, a_2, a_3 [/mm] linear unabhängig sind, sowie auch [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2. [/mm] Nun meine Frage: Wie kann ich beweisen, dass [mm] a_1, a_2, a_3 [/mm] eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] bilden?
Vielen Dank im Voraus
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Guten Tach
Wenn die Vektoren l.u. dann bilden sie eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] denn n linear unabhängige Vektoren des [mm] \IR^n [/mm] bilden eine Basis des selbigen. Das ist ein Satz der sagt:
Sei d = dim V und B [mm] \subseteq [/mm] V . Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
(1) B hat d Elemente und ist linear unabhängig.
(2) B ist eine Basis von V .
(3) B hat d Elemente und ist ein Erzeugenden System von V .
Dann [mm] a_{2} [/mm] und [mm] a_{3} [/mm] gegen [mm] b_{1} [/mm] und [mm] b_{2} [/mm] austauschen und noch mal auf lineare Unabhängigkeit testen
Ich wünsche einen schönen Tag
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