Basis des R^3 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:11 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
folgende Fragen: Ich habe drei Vektoren des [mm] $\IR^3$ [/mm] gegeben. Nun ist meine Frage: Woher weiß ich, ob diese den [mm] $\IR^3$ [/mm] aufspannen.
Meine Annahme: Wenn diese drei Vektoren den [mm] $\IR^3$ [/mm] nicht aufspannen, muss ich diese ja durch Basisergänzung mit Hilfe der drei kanonischen Basisvektoren des [mm] $\IR^3$ [/mm] ergänzen können. Stellt sich dabei heraus, dass die drei Vektoren, die ich vorgegeben habe, schon linear unabhängig sind, also in der Zeilenstufenform dann überall in jeder Zeile, in der die drei Vektoren standn, ein Pivot-Element drin ist, so spannen die drei Vektoren den [mm] \IR^3$ [/mm] auf und bilden schon die Basis des [mm] $\IR^3$.
[/mm]
Das ganze kann ich dann doch auch einfach umändern, indem ich sage: Wenn die drei vorgegebenen Vektoren des [mm] $\IR^3$ [/mm] linear unabhängig sind, bilden sie eine Basis des [mm] $\IR^3$
[/mm]
Kann man das so allgemein sagen?
Sollte ich vier Vektoren des [mm] $\IR^3$ [/mm] haben, die linear abhängig sind, und wenn ich dann einen rauswerfe, und die restlichen drei dann linear unabhängig sind, dann spannen diese vier Vektoren dann doch auch schon den [mm] $\IR^3$ [/mm] auf, oder?
Und wenn ich dann die drei restlichen Vektoren habe, die dann linear unabhängig sind, bilden sie dann eine Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] oder?
LG
Kroni
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> folgende Fragen: Ich habe drei Vektoren des [mm]\IR^3[/mm] gegeben.
> Nun ist meine Frage: Woher weiß ich, ob diese den [mm]\IR^3[/mm]
> aufspannen.
Hallo,
Du weißt sicher bereits, daß die Dimension des [mm] \IR^3 [/mm] =3 ist.
Also spannen sämtlciche drei Vektoren, die linear unabhängig sind, den [mm] \IR^3 [/mm] auf.
Du mußt Deine 3 Vektoren also auf Unabhängigkeit prüfen. Sind sie unabhängig, so sind sie eine Basis, also auch ein Erzeugendensystem.
Sind sie nicht unabhängig, so enthalten sie keine Basis, also kein minimales Erzeugendensystem und können somit nicht den [mm] \IR^3 [/mm] erzeugen.
>
> Das ganze kann ich dann doch auch einfach umändern, indem
> ich sage: Wenn die drei vorgegebenen Vektoren des [mm]\IR^3[/mm]
> linear unabhängig sind, bilden sie eine Basis des [mm]\IR^3[/mm]
>
> Kann man das so allgemein sagen?
Ja.
>
> Sollte ich vier Vektoren des [mm]\IR^3[/mm] haben, die linear
> abhängig sind, und wenn ich dann einen rauswerfe, und die
> restlichen drei dann linear unabhängig sind, dann spannen
> diese vier Vektoren dann doch auch schon den [mm]\IR^3[/mm] auf,
> oder?
Ja. Denn sie enthalten eine Basis, also ein minimales Erzeugendensystem.
> Und wenn ich dann die drei restlichen Vektoren habe, die
> dann linear unabhängig sind, bilden sie dann eine Basis des
> [mm]\IR^3[/mm] oder?
Ja.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
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> Hallo,
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> Du weißt sicher bereits, daß die Dimension des [mm]\IR^3[/mm] =3
> ist.
Ja, das weiß ich =)
> Also spannen sämtlciche drei Vektoren, die linear
> unabhängig sind, den [mm]\IR^3[/mm] auf.
>
> Du mußt Deine 3 Vektoren also auf Unabhängigkeit prüfen.
> Sind sie unabhängig, so sind sie eine Basis, also auch ein
> Erzeugendensystem.
>
> Sind sie nicht unabhängig, so enthalten sie keine Basis,
> also kein minimales Erzeugendensystem und können somit
> nicht den [mm]\IR^3[/mm] erzeugen.
Wenn sie linear abhängig sind, so können sie keine Basis sein, aber sie können doch dennoch den [mm] $\IR^3$ [/mm] erzeugen?!
>
> >
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> >
> > Sollte ich vier Vektoren des [mm]\IR^3[/mm] haben, die linear
> > abhängig sind, und wenn ich dann einen rauswerfe, und die
> > restlichen drei dann linear unabhängig sind, dann spannen
> > diese vier Vektoren dann doch auch schon den [mm]\IR^3[/mm] auf,
> > oder?
>
> Ja. Denn sie enthalten eine Basis, also ein minimales
> Erzeugendensystem.
Das steht aber zum Widerspruch zu deiner Aussage von oben, als du sagtest, dass dann die vier Vektoren, die lin. abhängig sind, den nicht [mm] $\IR^3$ [/mm] erzeugen...?!
Achso: Wenn A zu einer linearen Abbildung gehört, und der Nullraum der Matrix A (die sich aus Spaltenvektoren zusammensetzt) nur den Nullvektor enthält, dann ist die Abbildung injektiv, und wenn der Spaltenraum der Matrix dann den [mm] $\IR^m$ [/mm] aufspannt, wenn die Abbildung vom [mm] $\IR^n$ [/mm] in den [mm] $\IR^m$ [/mm] geht, ist die Abbildung auch surjektiv oder?
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> Gruß v. Angela
Lieben Gruß,
Kroni
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> Hi,
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> >
> > Hallo,
> >
> > Du weißt sicher bereits, daß die Dimension des [mm]\IR^3[/mm] =3
> > ist.
>
> Ja, das weiß ich =)
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> > Also spannen sämtlciche drei Vektoren, die linear
> > unabhängig sind, den [mm]\IR^3[/mm] auf.
> >
> > Du mußt Deine 3 Vektoren also auf Unabhängigkeit prüfen.
> > Sind sie unabhängig, so sind sie eine Basis, also auch ein
> > Erzeugendensystem.
>
> >
> > Sind sie nicht unabhängig, so enthalten sie keine Basis,
> > also kein minimales Erzeugendensystem und können somit
> > nicht den [mm]\IR^3[/mm] erzeugen.
>
> Wenn sie linear abhängig sind, so können sie keine Basis
> sein, aber sie können doch dennoch den [mm]\IR^3[/mm] erzeugen?!
Nein, wie sprechen hier ja über eine Menge v. 3 Vektoren in einem dreidimensionalen Vektorraum. Die Basis ist ein minimales Erzeugendensystem, und jedes Erzeugendensystem muß ein minimales Erzeugendensystem, also eine Basis, enthalten.
> > > Sollte ich vier Vektoren des [mm]\IR^3[/mm] haben, die linear
> > > abhängig sind, und wenn ich dann einen rauswerfe, und die
> > > restlichen drei dann linear unabhängig sind, dann spannen
> > > diese vier Vektoren dann doch auch schon den [mm]\IR^3[/mm] auf,
> > > oder?
> >
> > Ja. Denn sie enthalten eine Basis, also ein minimales
> > Erzeugendensystem.
>
> Das steht aber zum Widerspruch zu deiner Aussage von oben,
> als du sagtest, dass dann die vier Vektoren, die lin.
> abhängig sind, den nicht [mm]\IR^3[/mm] erzeugen...?!
Ömm - oben sprachen wir doch über drei Vektoren!
>
> Achso: Wenn A zu einer linearen Abbildung gehört,
Eine Matrix gehört immer zu einer linearen Abbildung.
> und der
> Nullraum der Matrix A (die sich aus Spaltenvektoren
> zusammensetzt)
also der Kern
> nur den Nullvektor enthält, dann ist die
> Abbildung injektiv,
Ja.
> und wenn der Spaltenraum der Matrix
> dann den [mm]\IR^m[/mm] aufspannt, wenn die Abbildung vom [mm]\IR^n[/mm] in
> den [mm]\IR^m[/mm] geht, ist die Abbildung auch surjektiv oder?
Genau.
Beides zusammen kann (!) nur bei quadratischen Matrizen passieren.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
nein, ich meinte folgendes: Vier Vektoren des [mm] $\IR^3$, [/mm] die linear abhängig sind können den [mm] $\IR^3$ [/mm] aufspannen. Und zwar dann, wenn ich einen davon rauswerfe, und dann drei linear unabhängige Vektoren habe, die dann also die Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] bilden.
Also enthält die Menge der vier Vektoren die Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] und spannt somit den [mm] $\IR^3$ [/mm] auf. So war das von mir gemeint, und dan spannen ja die vier linear abhängigen Vektoren den [mm] $IR^3$ [/mm] auf unter der oben genannten Bedingung.
Wenn ich nur drei Vektoren habe des [mm] $\IR^3$ [/mm] und diese linear abhängig sind, so spannen diese nicht den [mm] $\IR^3$ [/mm] auf.
Ist es dann korrekt formuliert?
Liebe Grüße und ein schönes Wochenende=)
Kroni
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> nein, ich meinte folgendes: Vier Vektoren des [mm]\IR^3[/mm], die
> linear abhängig sind können den [mm]\IR^3[/mm] aufspannen. Und zwar
> dann, wenn ich einen davon rauswerfe, und dann drei linear
> unabhängige Vektoren habe, die dann also die Basis des
> [mm]\IR^3[/mm] bilden.
Ja.
> Also enthält die Menge der vier Vektoren die Basis des
> [mm]\IR^3[/mm] und spannt somit den [mm]\IR^3[/mm] auf. So war das von mir
> gemeint, und dan spannen ja die vier linear abhängigen
> Vektoren den [mm]IR^3[/mm] auf unter der oben genannten Bedingung.
Ja.
>
> Wenn ich nur drei Vektoren habe des [mm]\IR^3[/mm] und diese linear
> abhängig sind, so spannen diese nicht den [mm]\IR^3[/mm] auf.
Ja.
>
> Ist es dann korrekt formuliert?
Ja.
>
> Liebe Grüße und ein schönes Wochenende=)
Gleichfalls!
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:34 So 25.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
danke für deine Antworten=)
LG
Kroni
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