Basis des Dualraumes < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 So 06.01.2008 | | Autor: | chipbit |
| Aufgabe | Sei V ein reeller Vektorraum der Dimension n und [mm] B_{V} =\{a_{1} ,..., a_{n}\} [/mm] eine Basis von V.
Wir betrachten nun den sogenannten Dualraum [mm] V^{\*} =Hom(V,\IR), [/mm] also den Raum der linearen Funktionen von V nach [mm] \IR. [/mm] Mit der punktweisen Addition und Multiplikation mit Skalaren
(f + g)(v):=f(v)+g(v), und ( [mm] \lambda \mdot f)(v):=\lambda \mdot [/mm] f(v) , v [mm] \in [/mm] V, f,g [mm] \in V^{\*}, \lambda \in \IR
[/mm]
ist [mm] V^{\*} [/mm] ebenfalls ein reller Vektorraum.
Wir definieren nun zu [mm] B_{V} [/mm] die sogenannte duale Basis [mm] {B_{V}}^{\*} :=\{a_1^{\*}, ...,a_n^{\*}\} [/mm] von [mm] V^{\*} [/mm] auf folgende Weise: Für i=1,...,n sei [mm] a_i^{\*} \in V^{\*} [/mm] diejenige lineare Abbildung von V nach [mm] \IR, [/mm] für die gilt [mm] a_i^{\*} (a_j)= \delta_i^j [/mm] (j=1,...,n).
Begründen Sie, warum [mm] a_i^{\*} [/mm] für i=1,..,n wohldefiniert ist und beweisen Sie, daß die duale Basis auch tatsächlich eine Basis von [mm] V^{\*} [/mm] ist.
Hinweis:das Kroneckerdelta ist folgerndermaßen definiert: [mm] \delta_i^j [/mm] ist 1 wenn i=j ist und 0 wenn [mm] i\not=j [/mm] . |
Hallo,
ich habe irgendwie nicht so ne Ahnung wie ich das angehen soll. Ich hab mir darüber schon ne Weile jetzt den Kopf zerbrochen. Ich habe nur eine Definition zur Wohldefiniertheit gefunden die besagt, daß wenn etwas wohldefiniert ist, es repräsentantenunabhängig ist. Joa, schön....aber kapieren tu ich das nicht so wirklich. Kann mir jemand vielleicht mit einem Hinweis oder einer Erklärung schonmal etwas Starthilfe geben?
Ich blick da grad echt nich durch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:17 So 06.01.2008 | | Autor: | Jorgi |
Hallo,
ihr hattet doch bestimmt in der Vorlesung bewiesen, dass es ausreicht eine lineare Abbildung auf einer Basis zu definieren, und das eine lineare Abbildung schon allein durch die Bilder ihrer Basis eindeutig bestimmt ist.
Normalerweise muss eine Abbildung ja jedem Element des Definitionsbreichs, ein eindeutiges Element zuordnen.
In diesem Fall tut man das nicht, sondern man beschränkt sich nur auf eine Basis.
Ich schätze das ist, in diesem Fall, mit "wohldefiniert" gemeint
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