Basis bei Polynomen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ich soll zeigen, dass die Polynome 1, (x−a), [mm] (x-a)^{2} [/mm] , ..., [mm] (x-a)^{n} [/mm] eine Basis des Vektorraums [mm] R[x]_{n} [/mm] der Polynome vom Grad ≤n bilden und dann die Koordinaten eines beliebigen Polynoms [mm] p(x) = a_{0}+ a_{1}x +...+a_{n}x_{n} [/mm] bezüglich dieser Basis bilden.
Als Hinweis soll ich die Ableitungen an der Stelle a betrachten.
Und als zusätzliche Aufgabenstellung noch: Muss jede Basis von [mm] K[x]_{n} [/mm] (K ist hierbei ein beliebiger Körper und [mm] K[x]_{n} [/mm] wieder der Vektorraum der Polynome vom Grad ≤n) jeweils ein Polynom vom Grad 0,1,...,n enthalten? |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Polynome-als-Basis-eines-Vektorraums
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=474186
Erstmal die Frage nach diesem Symbol [mm] R[x]_{n}. [/mm] Hat die eckige Klammer etwas Bestimmtes zu bedeuten oder ist das einfach die Schreibweise bei Vektorräumen??
Und dann noch meine Ideen zur Lösung dieser Aufgabe: Um zu zeigen, dass diese Polynome eine Basis sind, muss ich ja einerseits zeigen, dass sie einErzeugendensystem bilden und andererseits linear unabhängig sind, ich habe aber leider keine Ahnung wie ich das hier auf dieses Beispiel anwenden kann.. =(
Wäre sehr dankebar, wenn mir jemand helfen könnte!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:55 Mo 21.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Zur lin. Unabh.:
Seien [mm] s_0,...,s_n \in \IR [/mm] und es sei
[mm] $s_0*1+s_1(x-a)+...+s_n*(x-a)^n [/mm] $
das Nullpolynom. Zeigen mußt Du: [mm] s_0=s_1=...=s_n=0.
[/mm]
Setze [mm] $f(x):=s_0*1+s_1(x-a)+...+s_n*(x-a)^n [/mm] $
Wir haben: f(x)=0 für alle [mm] x\in \IR. [/mm] Mit x=a folgt [mm] s_0=0
[/mm]
Weiter gilt:
f'(x)= [mm] s_1+2s_2*(x-a)+...+ns_n(x-a)^{n-1}= [/mm] 0 für alle x [mm] \in \IR
[/mm]
mit x=a folgt: [mm] s_1=0
[/mm]
Etc....
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:34 So 27.11.2011 | | Autor: | marie1992 |
Danke für deine Hilfe =)
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