Basis aus Ketten von Hauptvekt < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme eine Basis aus Ketten von Hauptvektoren für die nilpotenten Matrizen
[mm] \pmat{ 1 & -1\\ 1 & -1 }, \pmat{ 0 & -1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 0 & -1 } [/mm]
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Bitte dringend um Starthilfe.
Habe wirklich gar keine Ahnung wie ich an die Aufgabe rangehen soll
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> Bestimme eine Basis aus Ketten von Hauptvektoren für die
> nilpotenten Matrizen
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> [mm]\pmat{ 1 & -1\\ 1 & -1 }, \pmat{ 0 & -1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 0 & -1 }[/mm]
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> Bitte dringend um Starthilfe.
> Habe wirklich gar keine Ahnung wie ich an die Aufgabe
> rangehen soll
Hallo,
es wäre nun hilfreich zu wissen, woran es scheitert...
Weißt Du denn, was mit "Hauptvektoren" gemeint ist? Falls nicht: nachschlagen.
Was hast Du schon alles getan? Eigenwerte? Eigenvektoren?
Gruß v. Angela
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> > [mm][mm] \pmat{ 1 & -1\\ 1 & -1 }
[/mm]
Hier hab ich als char. Polynom [mm] \lambda^{2}
[/mm]
und somit den Eigenvektor x = [mm] \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
>> [mm]\pmat{ 0 & -1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 0 & -1 }[/mm]
Hier hab ich als char. Polynom [mm] \lambda^{4}
[/mm]
und die Eigenvektoren [mm] x_{1}=\vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
sowie [mm] x_{2}=\vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm]
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Hallo lustigerhurz,
> > > [mm][mm]\pmat{ 1 & -1\\ 1 & -1 }[/mm]
Hier hab ich als char. Polynom [mm]\lambda^{2}[/mm]
und somit den Eigenvektor x = [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Bestimme nun einen Hauptvektor 2. Stufe.
Hier ist das Gleichungssystem
[mm]A^{2}.x=0[/mm] zu lösen.
Wähle dann ein [mm]x \not= 0[/mm].
Dann ist [mm]x, Ax[/mm] die Basis.
>> [mm]\pmat{ 0 & -1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 0 & -1 }[/mm]
Hier hab ich als char. Polynom [mm]\lambda^{4}[/mm]
und die Eigenvektoren [mm]x_{1}=\vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
sowie [mm]x_{2}=\vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
Das ist immer dasselbe Spiel:
Bestimme den Nilpotenzgrad der Matrix A:
[mm]A^{0}=I, \ A^{1}\not= 0, \ \dots \,A^{k-1}\not=0, \ A^{k}=0[/mm]
Dann heisst k der Nilpotenzgrad von A.
Das heisst der größte Jordanblock ist von der Größe k.
Bestimme dann den Kern[mm]\left(A^{k}\right)[/mm]. Dieser besteht logischerweise aus den 4 Einheitsvektoren.
Da Du den Kern(A) schon bestimmt hast, und 2 linear unabhängige Lösungen erhalten ist, gibt es somit nur 2 Jordanblöcke. Nämlich einen der Größe k und einen anderen der Größe 4-k
Eine Basis zum Jordanblock der Größe k ist [mm]x, Ax, \ \dots \, A^{k-1}x[/mm]
Und die Gesamtbasis ergibt sich dann zu
[mm]x_{1}, Ax_{1}, \ \dots \, A^{k-1}x_{1},x_{2}, \ \dots \, A^{3-k}x_{2}[/mm]
Gruß
MathePower
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so, zu meiner ersten matrix, hätte ich dann die Basis
[mm] \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
Zu meiner zweiten Matrix habe ich den Nilpotenzgrad 3 herausbekommen, d.h. [mm] A^{3}=0
[/mm]
=> Basis
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] Ax_{1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] A^{2}x_{1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
ist das nun richtig so??
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Hallo lustigerhurz,
> so, zu meiner ersten matrix, hätte ich dann die Basis
>
> [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm]
>
> Zu meiner zweiten Matrix habe ich den Nilpotenzgrad 3
> herausbekommen, d.h. [mm]A^{3}=0[/mm]
>
> => Basis
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> [mm]Ax_{1}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]A^{2}x_{1}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> ist das nun richtig so??
Leider nicht.
Der Nullvektor darf in keiner Basis vorhanden sein.
Schau Dir hier mal diesen Post an: Ketten von Hauptvektoren
Gruß
MathePower
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> > so, zu meiner ersten matrix, hätte ich dann die Basis
> >
> > [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm]
und [mm] \vektor{0 \\ 1}
[/mm]
> > Zu meiner zweiten Matrix habe ich den Nilpotenzgrad 3
> > herausbekommen, d.h. [mm]A^{3}=0[/mm]
> >
=> Basis
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Wenn ich den Post richtig verstanden habe, wärs ja dann so......
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Hallo lustigerhurz,
> > > so, zu meiner ersten matrix, hätte ich dann die Basis
> > >
> > > [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm]
> und [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm]
>
> > > Zu meiner zweiten Matrix habe ich den Nilpotenzgrad 3
> > > herausbekommen, d.h. [mm]A^{3}=0[/mm]
> > >
> => Basis
> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Wenn ich den Post richtig verstanden habe, wärs ja dann
> so......
So isses nu wieder nicht.
Wenn Du den Eigenvektor [mm]\pmat{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0}[/mm] gewählt hast, dann kannst Du aus dem Kern[mm]\left(A^{3}\right)[/mm] nur noch den ersten oder vierten Einheitsvektor auswählen.
Dann ist zum Beispiel eine Basis gegeben durch:
[mm]\pmat{e_{1}, & Ae_{1}, & A^{2}e_{1}, & \pmat{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0}}[/mm]
Gruß
MathePower
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Also erstmal 1000-Dank udn sorry dass ich mich ein bißchen blöd anstelle. Hab mich irgendwie durch das 1. Semester gemogelt und möchte nicht, dass es dieses Mal wieder so läuft.
Nun hab ich aber noch zwei letzte Fragen.
1. Stimmt die Basis bei der ersten Matrix??
2. Woran sehe ich, welche Einheitsvektoren ich zu welchen Eigenvektoren wählen kann??
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Hallo lustigerhurz,
> Also erstmal 1000-Dank udn sorry dass ich mich ein bißchen
> blöd anstelle. Hab mich irgendwie durch das 1. Semester
> gemogelt und möchte nicht, dass es dieses Mal wieder so
> läuft.
>
> Nun hab ich aber noch zwei letzte Fragen.
> 1. Stimmt die Basis bei der ersten Matrix??
Soviel ich mich erinnere hattest Du:
[mm]\pmat{1 \\ 1}, \pmat{0 \\ 1}[/mm]
Dann ist:
[mm]\pmat{1 & -1 \\ 1 & -1}*\pmat{1 \\ 1}=\pmat{0 \\ 0}[/mm]
[mm]\pmat{1 & -1 \\ 1 & -1}*\pmat{0 \\ 1}=\pmat{-1 \\ -1} \not= \pmat{1 \\ 1}[/mm]
Der zweite Basisvektor stimmt also nicht.
Korrekt muss der zweite Basisvektor lauten: [mm]\pmat{1 \\ 0}[/mm]
> 2. Woran sehe ich, welche Einheitsvektoren ich zu welchen
> Eigenvektoren wählen kann??
Es wurde ja [mm]\pmat{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0}[/mm] als ein 1. Eigenvektor gewählt.
Nun gilt: [mm]\pmat{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0}=\pmat{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}+\pmat{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}=e_{2}+e_{3} [/mm]
Daher kannst Du nur noch den 1. oder 4. Einheitsvektor wählen, weil Du sonst keine Basis bekommst.
Gruß
MathePower
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oh man oh man oh man,
jetz ists klar. da hab ich den wald vor lauter bäumen nich gesehn.
also nochmal, vielen vielen Dank
Jetz hab ichs verstanden
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