Basis aus Eigenvektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 Di 15.04.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei [mm] V=\IR^3[/mm] und sei [mm] U=\{\vektor{x\\y\\z} \in \IR^3 | x+y-z=0\} [/mm]
1. Bestimmen Sie einen zu U komplementären Vektorraum W.
2. Sei [mm] f \in End(V) [/mm] definiert durch [mm] f(v)=u [/mm] für alle v=u+w mit [mm] u \in U, w \in W [/mm]. Bestimmen Sie ein Basis B von V aus Eigenvektoren von f.
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Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ich habe als Basis von U = [mm] \vektor{1\\-1\\0},\vektor{-1\\0\\-1} [/mm] ermittelt und als Basis von W = [mm] \vektor{0\\1\\0} [/mm] , als komplementären Vektorraum zu U.
Wenn ich jetzt diese 3 Vektoren als Basis von V nehme, daraus über das charakteristische Polynom die Eigenwerte ermittele und zu diesen EW dann die Eigenvektoren berechne, ist das richtig ?
Oder muss ich noch etwas mit v=u+w beachten ?
Danke, Susanne.
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> Sei [mm]V=\IR^3[/mm] und sei [mm]U=\{\vektor{x\\y\\z} \in \IR^3 | x+y-z=0\}[/mm]
>
> 1. Bestimmen Sie einen zu U komplementären Vektorraum W.
> 2. Sei [mm]f \in End(V)[/mm] definiert durch [mm]f(v)=u[/mm] für alle v=u+w
> mit [mm]u \in U, w \in W [/mm]. Bestimmen Sie ein Basis B von V aus
> Eigenvektoren von f.
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Hallo,
> ich habe als Basis von U =
> [mm]\vektor{1\\-1\\0},\vektor{-1\\0\\-1}[/mm] ermittelt und als
> Basis von W = [mm]\vektor{0\\1\\0}[/mm] , als komplementären
> Vektorraum zu U.
>
> Wenn ich jetzt diese 3 Vektoren als Basis von V nehme,
> daraus über das charakteristische Polynom die Eigenwerte
> ermittele und zu diesen EW dann die Eigenvektoren berechne,
> ist das richtig ?
> Oder muss ich noch etwas mit v=u+w beachten ?
Hallo,
das klingt alles sehr vernünftig.
Es ist schlau, wenn Du Deine darstellende Matrix gleich bzgl der Basis B (von oben) aufschreibst und nicht etwa die Standardbasis nimmst.
(Daran denken, daß Du auch die Bilder in Koordinaten bzgl B angeben mußt!)
Du siehst dann nämlich die Eigenvektoren sofort und mußt sie nur noch bzgl der Standardbasis hinschreiben.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:24 Di 15.04.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Angela,
ok, vielen Dank !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Mo 21.04.2008 | | Autor: | SusanneK |
> > Hallo,
> > ich habe als Basis von U =
> > [mm]\vektor{1\\-1\\0},\vektor{-1\\0\\-1}[/mm] ermittelt und als
> > Basis von W = [mm]\vektor{0\\1\\0}[/mm] , als komplementären
> > Vektorraum zu U.
> >
> > Wenn ich jetzt diese 3 Vektoren als Basis von V nehme,
> > daraus über das charakteristische Polynom die Eigenwerte
> > ermittele und zu diesen EW dann die Eigenvektoren berechne,
> > ist das richtig ?
> > Oder muss ich noch etwas mit v=u+w beachten ?
>
> Es ist schlau, wenn Du Deine darstellende Matrix gleich
> bzgl der Basis B (von oben) aufschreibst und nicht etwa die
> Standardbasis nimmst.
>
> (Daran denken, daß Du auch die Bilder in Koordinaten bzgl B
> angeben mußt!)
>
> Du siehst dann nämlich die Eigenvektoren sofort und mußt
> sie nur noch bzgl der Standardbasis hinschreiben.
Ich dachte, ich hätte die Aufgabe verstanden, knacke jetzt aber schon seit Tagen daran herum. Entweder sind meine Basisvektoren falsch, oder ich bin zu blöd, das char.Polynom zu ermitteln:
Aus [mm] \pmat{1&-1&0\\-1&0&1\\0&-1&0}[/mm] bekomme ich als char.Polynom [mm] (T-1)T^2-1 [/mm]. Damit komme ich nicht weiter, weil ich daraus EW und so auch keine EV ermitteln kann. Ich fürchte, meine Basisvektoren sind falsch.
Wo ist mein Fehler ?
Danke, Susanne.
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> > > Hallo,
> > > ich habe als Basis von U =
> > > [mm]\vektor{1\\-1\\0},\vektor{-1\\0\\-1}[/mm] ermittelt und als
> > > Basis von W = [mm]\vektor{0\\1\\0}[/mm] , als komplementären
> > > Vektorraum zu U.
> Entweder sind meine
> Basisvektoren falsch, oder ich bin zu blöd, das
> char.Polynom zu ermitteln:
> Aus [mm]\pmat{1&-1&0\\-1&0&1\\0&-1&0}[/mm] bekomme ich als
> char.Polynom [mm](T-1)T^2-1 [/mm]. Damit komme ich nicht weiter,
> weil ich daraus EW und so auch keine EV ermitteln kann. Ich
> fürchte, meine Basisvektoren sind falsch.
> Wo ist mein Fehler ?
Hallo,
der Fehler, den Du machst, ist ein recht typischer:
Die Matrix, die Du aufgestellt hast, ist die, die gefüttert mit Vektoren in Koordinaten bzgl. B=( [mm]\vektor{1\\-1\\0},\vektor{-1\\0\\-1}[/mm] ,[mm]\vektor{0\\1\\0}[/mm]) deren Bilder bzgl der Standardbasis ausgibt. Warum? Weil Du in die Spalten die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl der Standardbasis gesteckt hast.
Wenn Du aber das charakteristische Polynom haben willst, brauchst Du in Start- und Zielraum dieselbe Basis. (Ich hatte dazu schon im ersten Post einen Warnhinweis eingebaut...)
Gib also die Bilder in Koordinaten bzgl B an.
Bzgl B hat [mm] \vektor{1\\-1\\0} [/mm] die Koordinaten [mm] \vektor{1\\0\\0}_B, [/mm] denn es ist der erste Basisvektor.
Es folgt dann aber noch ein weiterer Fehler, Du hast die Abbildungsvorschrift nicht richtig umgesetzt:
f(v):=u mit v=u+w, [mm] u\in [/mm] U, [mm] w\in [/mm] W.
(Hier sollte man zunächst kurz stutzen und sich fragen, ob die Zuweisung des Funktionswertes eindeutig ist, die Funktion also wohldefineirt. Sie ist es - über den Grund kannst Du mal nachdenken.)
Was macht die Abbildung? Jeden Vektor kann man in eine Komponente aus U und eine aus V zerlegen, und die Abbildung weist dem Vektor seine U-Komponente zu.
Welches ist die U-Komponente des dritten Vektors?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Mo 21.04.2008 | | Autor: | SusanneK |
> Hallo,
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> der Fehler, den Du machst, ist ein recht typischer:
>
> Die Matrix, die Du aufgestellt hast, ist die, die gefüttert
> mit Vektoren in Koordinaten bzgl. B=(
> [mm]\vektor{1\\-1\\0},\vektor{-1\\0\\-1}[/mm] ,[mm]\vektor{0\\1\\0}[/mm])
> deren Bilder bzgl der Standardbasis ausgibt. Warum? Weil Du
> in die Spalten die Bilder der Basisvektoren von B in
> Koordinaten bzgl der Standardbasis gesteckt hast.
Ich glaube, jetzt bin ich völlig verwirrt ?!
Bedeutet das, dass ich die Spalten zu Zeilen machen muss ?
>
> Wenn Du aber das charakteristische Polynom haben willst,
> brauchst Du in Start- und Zielraum dieselbe Basis. (Ich
> hatte dazu schon im ersten Post einen Warnhinweis
> eingebaut...)
> Gib also die Bilder in Koordinaten bzgl B an.
>
> Bzgl B hat [mm]\vektor{1\\-1\\0}[/mm] die Koordinaten
> [mm]\vektor{1\\0\\0}_B,[/mm] denn es ist der erste Basisvektor.
Also wähle ich als Basis für V erstmal die Standardbasis ?
>
> Es folgt dann aber noch ein weiterer Fehler, Du hast die
> Abbildungsvorschrift nicht richtig umgesetzt:
>
> f(v):=u mit v=u+w, [mm]u\in[/mm] U, [mm]w\in[/mm] W.
>
> (Hier sollte man zunächst kurz stutzen und sich fragen, ob
> die Zuweisung des Funktionswertes eindeutig ist, die
> Funktion also wohldefineirt. Sie ist es - über den Grund
> kannst Du mal nachdenken.)
Der Nullvektor kann als Einziger mehrfach getroffen werden.
>
> Was macht die Abbildung? Jeden Vektor kann man in eine
> Komponente aus U und eine aus V zerlegen, und die Abbildung
> weist dem Vektor seine U-Komponente zu.
>
> Welches ist die U-Komponente des dritten Vektors?
>
Wie kriege ich denn das zusammen ?
Der dritte Vektor wäre ja dann [mm] \pmat{0\\0\\1} [/mm].
Das ist in U aber doch gar nicht definiert..?..dann wäre ja z=0..?..
DANKE ! Susanne.
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> > Die Matrix, die Du aufgestellt hast, ist die, die gefüttert
> > mit Vektoren in Koordinaten bzgl. B=(
> > [mm]\vektor{1\\-1\\0},\vektor{-1\\0\\-1}[/mm] ,[mm]\vektor{0\\1\\0}[/mm])
> > deren Bilder bzgl der Standardbasis ausgibt. Warum? Weil Du
> > in die Spalten die Bilder der Basisvektoren von B in
> > Koordinaten bzgl der Standardbasis gesteckt hast.
> Ich glaube, jetzt bin ich völlig verwirrt ?!
> Bedeutet das, dass ich die Spalten zu Zeilen machen muss
Bloß nicht!
Paß auf:
die Koordinaten beziehen sich ja immer auf eine Basis.
Die Basis oben hatte ich B genannt, die Standardbasis nenne ich E, und ich werde bei den Vektoren kennzeichnen, auf welche Basis sie sich beziehen.
Es ist also
B=( [mm]b_1:=\vektor{1\\-1\\0}_E,b_2:=\vektor{-1\\0\\-1}_E[[/mm] ,[mm]b_3:=\vektor{0\\1\\0}_E[/mm])
Jetzt zeige ich Dir mal, was sich hinter dem Vektor
[mm] \vektor{1\\2\\3}_B [/mm] verbirgt:
[mm] \vektor{1\\2\\3}_B=1*b_1+2*b_2+3*b_3=1*\vektor{1\\-1\\0}_E+2*\vektor{-1\\0\\-1}_E+3*\vektor{0\\1\\0}_E =\vektor{-1\\2\\-2}_E
[/mm]
Ich hoffe, daß Du jetzt eine Ahnung von "in Koordinaten bzgl B" bekommen hast.
> ?
> >
> > Wenn Du aber das charakteristische Polynom haben willst,
> > brauchst Du in Start- und Zielraum dieselbe Basis. (Ich
> > hatte dazu schon im ersten Post einen Warnhinweis
> > eingebaut...)
> > Gib also die Bilder in Koordinaten bzgl B an.
> >
> > Bzgl B hat [mm]\vektor{1\\-1\\0}[/mm] die Koordinaten
> > [mm]\vektor{1\\0\\0}_B,[/mm] denn es ist der erste Basisvektor.
> Also wähle ich als Basis für V erstmal die Standardbasis
> ?
Ich habe da jetzt ja gerade B als Basis gewählt in den ersten Basisvektor von B in Koordinaten bzgl. B dargestellt.
> >
> > Es folgt dann aber noch ein weiterer Fehler, Du hast die
> > Abbildungsvorschrift nicht richtig umgesetzt:
> >
> > f(v):=u mit v=u+w, [mm]u\in[/mm] U, [mm]w\in[/mm] W.
> >
> > (Hier sollte man zunächst kurz stutzen und sich fragen, ob
> > die Zuweisung des Funktionswertes eindeutig ist, die
> > Funktion also wohldefineirt. Sie ist es - über den Grund
> > kannst Du mal nachdenken.)
> Der Nullvektor kann als Einziger mehrfach getroffen
> werden.
Das stimmt nicht. Betrachte mal u+w, u+2w, u+3w für u,w [mm] \not=0.
[/mm]
Der Grund ist, daß [mm] \IR^3 [/mm] die direkte Summe von U und W ist.
> Wie kriege ich denn das zusammen ?
> Der dritte Vektor wäre ja dann [mm]\pmat{0\\0\\1} [/mm].
> Das ist
> in U aber doch gar nicht definiert..?
Den dritten Vektor [mm] b_3=\pmat{0\\0\\1}_B [/mm] kannst Du schreiben als [mm] b_3=\underbrace{(0*b_1+0*b_2)}_{\in U}+\underbrace{1*b_3}_{\in W}.
[/mm]
..dann wäre ja
> z=0..?..
Es ist [mm] f(B_3)=\vektor{0\\0\\0}_B.
[/mm]
Und worauf werden die anderen beiden abgebildet? Auf sich selbst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Mo 21.04.2008 | | Autor: | SusanneK |
Liebe Angela,
VIELEN VIELEN DANK für Deine Mühe !!!
Ich glaube, ich habe gerade irgendwo einen Knoten im Hirn !
> Es ist also
>
> B=( [mm]b_1:=\vektor{1\\-1\\0}_E,b_2:=\vektor{-1\\0\\-1}_E[[/mm]
> ,[mm]b_3:=\vektor{0\\1\\0}_E[/mm])
>
>
> Jetzt zeige ich Dir mal, was sich hinter dem Vektor
>
> [mm]\vektor{1\\2\\3}_B[/mm] verbirgt:
>
> [mm]\vektor{1\\2\\3}_B=1*b_1+2*b_2+3*b_3=1*\vektor{1\\-1\\0}_E+2*\vektor{-1\\0\\-1}_E+3*\vektor{0\\1\\0}_E =\vektor{-1\\2\\-2}_E[/mm]
>
> Ich hoffe, daß Du jetzt eine Ahnung von "in Koordinaten
> bzgl B" bekommen hast.
Ich glaube, das habe ich vom Prinzip her verstanden, aber wie ich jetzt mit B und E in dieser Aufgabe arbeiten muss...?
Ich versuche es mal.
>
> Ich habe da jetzt ja gerade B als Basis gewählt in den
> ersten Basisvektor von B in Koordinaten bzgl. B
> dargestellt.
>
> Das stimmt nicht. Betrachte mal u+w, u+2w, u+3w für u,w
> [mm]\not=0.[/mm]
Ah, das wird immer auf u abgebildet, weil w unter den Tisch fällt.
>
> Der Grund ist, daß [mm]\IR^3[/mm] die direkte Summe von U und W
> ist.
>
> Den dritten Vektor [mm]b_3=\pmat{0\\0\\1}_B[/mm] kannst Du schreiben
> als [mm]b_3=\underbrace{(0*b_1+0*b_2)}_{\in U}+\underbrace{1*b_3}_{\in W}.[/mm]
>
> Es ist [mm]f(B_3)=\vektor{0\\0\\0}_B.[/mm]
>
> Und worauf werden die anderen beiden abgebildet? Auf sich
> selbst.
Bedeutet das, [mm] f(B_1)=\vektor{1\\0\\0}, f(B_2)=\vektor{0\\1\\0}[/mm] und die darstellende Matrix bzgl. f wäre dann [mm] \pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&0} [/mm] und daraus muss ich dann das char.Polynom ermitteln ?
DANKE !!!
LG, Susanne.
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> Bedeutet das, [mm]f(B_1)=\vektor{1\\0\\0}, f(B_2)=\vektor{0\\1\\0}[/mm]
> und die darstellende Matrix bzgl. f wäre dann
> [mm]\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&0}[/mm] und daraus muss ich dann das
> char.Polynom ermitteln ?
Hallo,
genau. Und hierfür brauchst Du nur wenig zu rechnen, und die Eigenvektoren siehst Du eigentlich sofort.
Du hättest natürlich auch zuerst die Matrix bzgl E aufstellen konnen. Da hättest Du zuerst die Funktionswerte auf den Standardbasisvektoren berechnen müssen. Das wäre viel umständlicher, führt aber zum selben Ergebnis. Wenn Du Dich mal ein bißchen langweilst...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:33 Mo 21.04.2008 | | Autor: | SusanneK |
Liebe Angela,
vielen vielen Dank für Deine tolle Hilfe !!!
Irgenwie erschien mir diese Aufgabe relativ einfach, und dann bin ich völlig abgestürzt damit.
Vielen Dank für Deine Mühe und Geduld !
Lieben Gruss, Susanne.
(Huch - jetzt habe ich das als Frage abgeschickt anstatt als Mitteilung.
Bitte als BEANTWORTET kennzeichnen.)
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