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| Aufgabe | Es sei U [mm] \subseteq \IR[X] [/mm] der [mm] \IR-Untervektorraum [/mm] im Polynomring mit Basis(U) = [mm] (1,X,X^2,X^3,X^4).
[/mm]
Zeigen sie, dass U' := [mm] <(1,X,\bruch{X^2-X}{2},\bruch{X^3-3X^2+2X}{6}, \bruch{X^4-6X^3+11X^2-6X}{24})> [/mm] eine weitere Basis von U ist. |
Hallo,
habe mir das so gedacht:
Zu zeigen ist, dass die Vektoren in U' linear unabhängig sind, und dass U' U aufspannt.
Ich dachte mir jetzt einfach: Wenn ich die Vektoren in U' als Vektoren in U auffasse, kann ich die Koeffizienten in eine 5x5 Matrix schreiben und per Gauß auflösen.
Wenn ich so die Einheitsmatrix bekomme, dann sind die Vektoren linear unabhängig. Da ich sie ja als Vektoren aus U aufgefasst habe, habe ich auch gleich gezeigt, dass U = U'.
Stimmt es, dass ich so gleich beides gezeigt habe?
(Die Matrix zu gaußen ist ziemlich einfach, man kommt sehr schnell auf die Einheitsmatrix, ich poste hier nicht alles, nur den Anfang).
Die Matrix sieht so aus:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1/2 & -1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1/3 & -1/2 & 1/6 & 0 \\ 0 & -1/4 & 11/24 & -1/4 & 1/24 }
[/mm]
Kann ich das so stehen lassen?
Danke!
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> Es sei U [mm]\subseteq \IR[X][/mm] der [mm]\IR-Untervektorraum[/mm] im
> Polynomring mit Basis(U) = [mm](1,X,X^2,X^3,X^4).[/mm]
>
> Zeigen sie, dass U' :=
> [mm]<(1,X,\bruch{X^2-X}{2},\bruch{X^3-3X^2+2X}{6}, \bruch{X^4-6X^3+11X^2-6X}{24})>[/mm]
> eine weitere Basis von U ist.
> Hallo,
>
> habe mir das so gedacht:
> Zu zeigen ist, dass die Vektoren in U' linear unabhängig
> sind, und dass U' U aufspannt.
Hallo,
Die gegebene Basis von U enthält 5 Vektoren, also ist dim U=5.
Das Erzeugendensystem von U' enthält Vektoren aus U, also ist U' ein Unterraum von U. Es enthält 5 Vektoren, und wenn Du ihre lineare Unabhängigkeit zeigen kannst, weißt Du, daß es eine Basis von U' ist, und daß U=U', weil die Dimensionen gleich sind.
Das mit der Matrix kannst Du prinzipiell so machen - nur ist es nicht ganz sicher, ob Deine Chefs zufrieden sein werden.
Ich vermute, sie würden gerne eine Begründung Deines Tuns haben.
Falls Koordinatenvektoren bzgl. einer vorgebenen Basis dran waren, könntest Du sagen, daß Du sie in solche umwandelst und dann wie gewohnt fortfährst.
Ansonsten mußt Du die lineare Unabhängigkeit zeigen, also daß aus
[mm] a_1*^+a_2*X+a_2*\bruch{X^2-X}{2}+a_4*\bruch{X^3-3X^2+2X}{6}+a_5*\bruch{X^4-6X^3+11X^2-6X}{24}=0
[/mm]
folgt [mm] a_1=...=a_5=0.
[/mm]
Die obige Gleichung führt Dich auf ein LGS, welches Du natürlich mit dem Gaußalg. in Matrixform lösen kannst. und die Matrix sieht Deiner ähnlich.
LG Angela
> Ich dachte mir jetzt einfach: Wenn ich die Vektoren in U'
> als Vektoren in U auffasse, kann ich die Koeffizienten in
> eine 5x5 Matrix schreiben und per Gauß auflösen.
> Wenn ich so die Einheitsmatrix bekomme, dann sind die
> Vektoren linear unabhängig. Da ich sie ja als Vektoren aus
> U aufgefasst habe, habe ich auch gleich gezeigt, dass U =
> U'.
>
> Stimmt es, dass ich so gleich beides gezeigt habe?
> (Die Matrix zu gaußen ist ziemlich einfach, man kommt
> sehr schnell auf die Einheitsmatrix, ich poste hier nicht
> alles, nur den Anfang).
> Die Matrix sieht so aus:
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1/2 & -1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1/3 & -1/2 & 1/6 & 0 \\ 0 & -1/4 & 11/24 & -1/4 & 1/24 }[/mm]
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> Kann ich das so stehen lassen?
>
> Danke!
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>
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Hallo Angela,
danke für die Antwort. Ich habe es jetzt mit Hilfe von Koordinatenvektoren gemacht (Ich habe natürlich noch mehr dazu erklärt, als was ich hier gepostet habe).
Trotzdem aus Interesse: Wie würde ich denn das LGS bilden, wenn ich folgere, dass alle Koeffizienten 0 sind?
Ich glaube, dass das eigentlich einfach ist, aber ich stehe gerade auf dem Schlauch.
Besten Dank!
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Hallo,
sei
[mm] a_1*^+a_2*X+a_3*\bruch{X^2-X}{2}+a_4*\bruch{X^3-3X^2+2X}{6}+a_5*\bruch{X^4-6X^3+11X^2-6X}{24}=0
[/mm]
==>
[mm] a_1+(a_2-a_3/2+a_4/3a_5/4)X+(a_3/2-a_4/2+11/24a_5)X^2+(...)X^3+(...)X^4=0
[/mm]
==>
[mm] a_1=0
[/mm]
[mm] a_2-a_3/2+a_4/3a_5/4=0
[/mm]
[mm] a_3/2-a_4/2+11/24a_5=0
[/mm]
...=0
...=0
Und jetzt irgendwie lösen.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:28 Fr 17.01.2014 | | Autor: | RunOrVeith |
Ah ja klar, ist logisch. Ich bin wirklich nur auf dem Schlauch gestanden, das weiß ich eigentlich.
Danke nochmal!
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