Basis/ Nullstelle Polynom < VK 22: Algebra 2007 < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:16 Do 06.09.2007 | | Autor: | Andreas1985 |
| Aufgabe | Erste Frage (Lineare Algebra):
Beweisen Sie, dass B={b1,b2,b3} mit b1=(2,2,-1), b2=(2,-1,2) und b3=(-1,2,2) eine Basis des [mm] \IR^{3} [/mm] ist und berechnen Sie die Koordinaten von x=(1,1,1) bezüglich B!
Zweite Frage (Algebra):
Sei [mm] f=a0+a1X+...+anX^{n} \in \IZ[X] [/mm] ein Polynom vom Grad n und sei [mm] \bruch{p}{q} [/mm] eine rationale Nullstelle von f (p,q [mm] \in \IZ [/mm] teilerfremd). Dann ist p ein Teiler von a0 und q ein Teiler von an. |
Die Fragen stammen aus meinem eigenen Kurs Lineare Algebra I bzw. aus dem Lehrbuch Algebra von E. Kunz.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Do 06.09.2007 | | Autor: | Dr.Sway |
Erste Aufgabe:
a.) Um zu festzustellen, ob die 3 Vektoren einen Raum im $ [mm] \IR^{3} [/mm] $ aufstellen, muss man beweisen dass sie nicht komplanar (=lineare unabhängig) sind.
λ [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] + γ [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + σ [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}= \vec0
[/mm]
Mit Hilfe des Gauß pfüft man weiter: (überbestimmtes Gleichungssystem)
2 2 -1
0 3 -3
0 0 -9
n= 2, RangA = 2 < RangAerw =3
Gleichungssytem nicht lösbar => nicht komplanar => die Vektoren stellen einen Raum im $ [mm] \IR^{3} [/mm] $ auf.
b.)
Nun wird die Koordiante x=(1,1,1) bzl. der neuen Basis variiert
λ [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] + γ [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + σ [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Wieder mit Hilfe des Gauß
2 2 -1 1
0 3 -3 0
0 0 -9 -3
λ = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] , γ = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] , σ = [mm] \bruch{3}{9}
[/mm]
X = [mm] (\bruch{1}{3}/\bruch{1}{3}/\bruch{3}{9})
[/mm]
Ich hoff, dass es korrekt ist.
schöne Grüße
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Hallo Sabrina,
Alles korrekt. Hast bloß vergessen die 3/9 zu kürzen. Is ja aber trotzdem richtig.
Viele Grüße
Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Fr 07.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Andreas,
> Sei [mm]f=a0+a1X+...+anX^{n} \in \IZ[X][/mm] ein Polynom vom Grad n
> und sei [mm]\bruch{p}{q}[/mm] eine rationale Nullstelle von f (p,q
> [mm]\in \IZ[/mm] teilerfremd). Dann ist p ein Teiler von a0 und q
> ein Teiler von an.
> Die Fragen stammen aus meinem eigenen Kurs Lineare Algebra
Tipp: setze die Nullstelle ein: [mm]f(p/q) = 0[/mm] und multipliziere mit dem Hauptnenner. Dann bedenke, dass alle vorkommenden Zahlen ganze Zahlen sind.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 Fr 07.09.2007 | | Autor: | Dr.Sway |
Hallo Rainer,
Erstmal Danke für deinen Tipp zum Vorkurs!
So zu meiner Frage:
Den Ansatz (Nullstelle einsetzen) verstehe ich, aber mit welchen Hauptnenner soll man multiplizieren? Könntest du mir das erklären, bitte?
Danke im Vorraus
Sabrina
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> So zu meiner Frage:
> Den Ansatz (Nullstelle einsetzen) verstehe ich, aber mit
> welchen Hauptnenner soll man multiplizieren? Könntest du
> mir das erklären, bitte?
Hallo,
hast Du denn [mm] \bruch{p}{q} [/mm] mal eingesetzt?
Was steht dann dort?
Und was ist der Hauptnenner von dem, was da steht?
Wenn Du so nicht drauf kommst, kannst Du ja mal übungshalber [mm] \bruch{3}{5} [/mm] einsetzen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Fr 07.09.2007 | | Autor: | Dr.Sway |
Hallo Angela,
Vielen Dank für deine Antwort, aber irgendwie is der Grosch'n bei mir noch nicht gefallen.
[mm] f(\bruch{p}{q}) [/mm] = 0
[mm] ao+a1\bruch{p}{q}+...+an(\bruch{p}{q})^{n}=0
[/mm]
Ok dann ist der Hauptnenner q und die Gleichung wird damit multipliziert.
[mm] qao+a1p+...+an(\bruch{p^{n}}{q^{n-1}})
[/mm]
Hab auch mit den von dir vorgebeben Ziffern versucht:
[mm] 5ao+3a1+...+an(\bruch{3^{n}}{5^{n-1}})=0
[/mm]
Ist es bis hier hin noch richtig? Wenn ja wie gehe ich nun weiter vorran?
schöne Grüße und Danke im Vorraus!
Sabrina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:05 Sa 08.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst doch sicher eigentlich den Hauptnenner von 1/q, [mm] 1/q^2, 1/q^3 [/mm] finden. es ist sicher nicht q !
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 So 09.09.2007 | | Autor: | Dr.Sway |
Hallo,
Ja danke, stimmt!
Der Hauptnenner wäre dann [mm] q^{n}: [/mm] (hoff ich)
$ [mm] a_0*q^{n}+a_1*p^n*q^{n-1}+...+a_n*{p^{n}}=0$
[/mm]
Aber wie mach ich denn weiter?
Danke im Vorraus
schöne Grüße
Sabrina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 So 09.09.2007 | | Autor: | Kasper |
Hi Sabrina,
(hurra ich hab's gerade raus)
wenn du jetzt [mm] $a_0*q^n=\dots$ [/mm] schreibst,
warum lässt sich dann [mm] $a_0$ [/mm] durch $p$
teilen?
Gruß, Kasper
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 So 09.09.2007 | | Autor: | Dr.Sway |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi Kasper,
Also wenn ich das mal ausführen darf:
$ ao\cdot q^{n} =-a1\cdot p\cdot{q^{n-1}}-...-an\cdot{p^{n} $
wenn ich durch p Teilen würde müsste p\not=0 sein:
\bruch{ao}{p}\cdot q^{n}=-a1\cdot{q^{n-1}}-...-an\cdot{p^{n-1}}
Und jetzt?
Wahrscheinlich ist es trivial, aber ich seh's net.
schöne Grüße
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> Hi Kasper,
>
> Also wenn ich das mal ausführen darf:
>
> [mm]ao\cdot q^{n} =-a1\cdot p\cdot{q^{n-1}}-...-an\cdot{p^{n}[/mm]
Hallo
...= [mm] -p(a_1\cdot({q^{n-1}}+...+a_n\cdot{p^{n-1}}
[/mm]
Da siehst Du nun, daß [mm] a_o\cdot q^{n} [/mm] das Produkt aus p und [mm] ({q^{n-1}}+...+a_n\cdot{p^{n-1}} [/mm] ist.
Also teilt p [mm] a_o\cdot q^{n}. [/mm]
[mm] q^n [/mm] kann p nicht teilen (warum?), also muß p [mm] a_0 [/mm] teilen.
Das andere geht ähnlich.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 Mo 10.09.2007 | | Autor: | Dr.Sway |
Hallo,
Merci für die Hilfe.
Also da p,q teilerfremd sind, deshalb ist p ein Teiler von a0 und nicht von [mm] q^{n}.
[/mm]
Veruch ich's mal für q:
$ [mm] ao\cdot q^{n} [/mm] + [mm] a1\cdot p\cdot{q^{n-1}}+...+an\cdot{p^{n}} [/mm] =0 $
[mm] ao\cdot q^{n} [/mm] + [mm] a1\cdot p\cdot{q^{n-1}}+... [/mm] = [mm] -an\cdot{p^{n}}
[/mm]
-q [mm] (ao\cdot q^{n-1} [/mm] + [mm] a1\cdot p\cdot{q^{n-2}}+...) [/mm] = [mm] an\cdot{p^{n}}
[/mm]
Hier gilt dann wieder da p,q teilerfremd sind, deshalb ist q ein Teiler von an.
Ist das dann so richtig?
schöne Grüße
Sabrina
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> Ist das dann so richtig?
Ja.
Du solltest bei den Summen, die Du mit Pünktchen schreibst, etwas aufpassen. Das sind ja endliche Summen, da sollte das letzte Element auch dastehen. Und wenn man das vorletzte auch schreibt, versteht man die Aufgabe besser, finde ich.
Gruß v. Angela
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