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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Sa 03.03.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | | Erweitere [mm] \vektor{5\\ 3 \\1} [/mm] zu einer Basis von [mm] \IR^3 [/mm] |
Ich dachte zuerst an den Austauschsatz von STeiniz
[mm] v_1,..,v_n [/mm] ist Erzeugendensystem eines Vektorraums V. [mm] w_1,..,w_k [/mm] eine linear unabhängige Teilmenge in V.
Dann gilt k [mm] \le [/mm] n und nach Umnummerieren der [mm] v_i [/mm] ist auch [mm] w_1,..,w_k,v_{k+1},..,v_{n} [/mm] ein Erzeugendensystem von V
[mm] e_1, e_2, e_3 [/mm] ist ein Erzeugendensystem von [mm] \IR^3 [/mm] (sogar eine Basis)
[mm] \vektor{5\\3\\1} [/mm] eine linear unabhängige Teilmenge in V.
Aber ich kann den Satz nicht ganz anwenden.
Was ich noch überlegt habe:
[mm] \vektor{5\\3\\1} [/mm] und [mm] \vektor{-5\\ 3 \\1} [/mm] sind sicher linear unabhängig
[mm] \pmat{ 5 & -5 \\ 3 & 3 \\1&1 }
[/mm]
SSF
[mm] \pmat{ 5 & 0 \\ 3 & 6 \\1&2 }
[/mm]
kein Sprung bei i=3
[mm] e_i =e_3=\vektor{0\\ 0 \\1} [/mm] bildet eine Basis des Komplements von [mm] <\vektor{5\\ 3 \\1},\vektor{-5\\ 3 \\1}> [/mm] (Spaltenraum)
[mm] \vektor{5\\ 3 \\1},\vektor{-5\\ 3 \\1},e_3 [/mm] bilden Basis von [mm] \IR^3
[/mm]
Kann man das mit dem Austauschsatz auch machen?
Hättet ihr das anders gemacht?
Stimmt der letzte Teil so?
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> Erweitere [mm]\vektor{5\\
3 \\
1}[/mm] zu einer Basis von [mm]\IR^3[/mm]
> Ich dachte zuerst an den Austauschsatz von STeiniz
> [mm]v_1,..,v_n[/mm] ist Erzeugendensystem eines Vektorraums V.
> [mm]w_1,..,w_k[/mm] eine linear unabhängige Teilmenge in V.
> Dann gilt k [mm]\le[/mm] n und nach Umnummerieren der [mm]v_i[/mm] ist auch
> [mm]w_1,..,w_k,v_{k+1},..,v_{n}[/mm] ein Erzeugendensystem von V
>
> [mm]e_1, e_2, e_3[/mm] ist ein Erzeugendensystem von [mm]\IR^3[/mm] (sogar
> eine Basis)
> [mm]\vektor{5\\
3\\
1}[/mm] eine linear unabhängige Teilmenge in V.
>
> Aber ich kann den Satz nicht ganz anwenden.
Hallo,
der Satz sagt Dir lediglich, daß [mm] ($\vektor{5\\3\\1}$, e_2, e_3) [/mm] oder [mm] (e_1,$\vektor{5\\3\\1}$, e_3) [/mm] oder [mm] (e_1, e_2, $\vektor{5\\3\\1}$) [/mm] ein Erzeugendensystem des [mm] $\IR^3$ [/mm] ist. Darüber, welches von ihnen Du nehmen kannst, schweigt sich der Satz aus. (Hier: jedes.)
Du konntest jetzt halt den Rang der zugehörigen Matrizen bestimmen, wenn Du eine hast mit Rang=3, kannst Du aufhören.
>
> Was ich noch überlegt habe:
> [mm]\vektor{5\\
3\\
1}[/mm] und [mm]\vektor{-5\\
3 \\
1}[/mm] sind sicher
> linear unabhängig
> [mm]\pmat{ 5 & -5 \\
3 & 3 \\
1&1 }[/mm]
> SSF
> [mm]\pmat{ 5 & 0 \\
3 & 6 \\
1&2 }[/mm]
> kein Sprung bei i=3
> [mm]e_i =e_3=\vektor{0\\
0 \\
1}[/mm] bildet eine Basis des
> Komplements von [mm]<\vektor{5\\
3 \\
1},\vektor{-5\\
3 \\
1}>[/mm]
> (Spaltenraum)
> [mm]\vektor{5\\
3 \\
1},\vektor{-5\\
3 \\
1},e_3[/mm] bilden Basis
> von [mm]\IR^3[/mm]
>
Ja, so geht das auch.
Im Grunde kannst Du völlig wahllos den Vektor [mm] $\vektor{5\\3\\1}$ [/mm] durch zwei andere ergänzen und gucken, ob Dein Konstrukt linear unabhängig ist, z.B. indem Du den Rang der Matrix anschaust.
> Kann man das mit dem Austauschsatz auch machen?
s.o.
> Hättet ihr das anders gemacht?
Ich hätte [mm] $\vektor{5\\3\\1}$ [/mm] scharf angeguckt , gesehen, daß [mm] e_2 [/mm] und [mm] e_2 [/mm] es tun. Hätte diese drei als Basis präsentiert zusammen mit dem nachweis, daß sie wirklich eine sind, z.B. indem ich auf den Rang der Matrix hingewiesen hätte.
Noch eine Sache, die ich anders mache: ich arbeite nie mit Spaltenumformungen, aber das ist Gewohnheits- und Geschmackssache.
(Du solltest auf jeden Fall jederzeit wissen, daß zum Lösen von LGS Spaltenumformungen unbrauchbar sind.)
> Stimmt der letzte Teil so?
Ja, Du kannst es so machen.
LG Angela
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:00 Sa 03.03.2012 | | Autor: | quasimo |
ok, danke
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