Basis, Dimension von Unterraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Hollo |
| Aufgabe | U=<{(1,1,1,0,1),(2,1,0,0,1),(0,0,1,0,0)}>
V=<{(1,1,0,0,1),(3,2,0,0,2),(0,1,1,1,1)}>
sind Unterräume des [mm] \IR^{5}.
[/mm]
1.)Gebe eine Basis von U+V an
2.)Best. dim U [mm] \cap [/mm] V
3.)Gebe eine Basis von U [mm] \cap [/mm] V an |
Hi zusammen!
Ich weiß das diese Aufgabe eigentlich einfach für mich sein müsste aber ich häng fest..
Also habe erst einmal gezeigt, dass die Vektoren die U und V erzeugen lub sind und dass U und V daher die angegebenen Vektoren als Basis und die Dimension 3 besitzen. Wie berechne ich damit die Basen von U+V und U [mm] \cap [/mm] V. 2.) würde ich mit der Dimensionsformel berechnen nachdem ich dim U+V berechnet habe...
Gruß hollo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:16 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Hollo |
Es fällt doch bestimmt jemandem etwas dazu ein...
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> U=<{(1,1,1,0,1),(2,1,0,0,1),(0,0,1,0,0)}>
> V=<{(1,1,0,0,1),(3,2,0,0,2),(0,1,1,1,1)}>
> sind Unterräume des [mm]\IR^{5}.[/mm]
> 1.)Gebe eine Basis von U+V an
> 2.)Best. dim U [mm]\cap[/mm] V
> 3.)Gebe eine Basis von U [mm]\cap[/mm] V an
>
> Also habe erst einmal gezeigt, dass die Vektoren die U und
> V erzeugen lub sind und dass U und V daher die angegebenen
> Vektoren als Basis und die Dimension 3 besitzen. Wie
> berechne ich damit die Basen von U+V
Du kannst die Basisvektoren von U nehmen und nachschauen, welche der Basisvektoren von V von ihnen linaer unabhängig sind. Da die Dimension Deines Ausgangsraumes =5 ist, können es höchstens zwei Vektoren sein, die Du zur Basis von U ergänzen mußt um die von U+V zu erhalten.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:38 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Hollo |
Hi, Vielen Dank!
Also betrachte ich jetzt die Basisvektoren von U und nehme mir einzeln einen von V dazu und prüfe auf lineare unabhängigkeit.
1.) 1*(1,1,1,0,1)+0*(2,1,0,0,1)-1*(0,0,1,0,0)=(1,1,0,0,1) =>lab
2.) 1*(1,1,1,0,1)+1*(2,1,0,0,1)-1*(0,0,1,0,0)=(3,2,0,0,2) =>lab
3.) (0,1,1,1,1) ist linear unabhängig von den Basisvektoren von V
Also nehme ich (1,1,1,0,1),(2,1,0,0,1),(0,0,1,0,0),(0,1,1,1,1) als Basis von U+V. Dim U+V ist dann 4. Dim U [mm] \cap [/mm] V ist dann 3+3-4=2.
So jetzt muss ich noch Basis von U [mm] \cap [/mm] V finden...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:43 Sa 18.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi Hollo,
für den Schnitt hast du doch schon bereits alles notwendige gerechnet.
Du hast nämlich zwei linar unabhängige Vektoren von V gefunden, die jeweils schon im Erzeugnis von U liegen, also (weil du weißt, dass die Dimension des Schnittes gleich 2 ist) hast du eine Basis des Schnittes.
wenn du übrigens nicht den Schnitt bestimmen musst, sondern nur eine Basis von U+V, dann gibt es auch ein schnelleres Verfahren, dafür schau mal HIER...
(bei deinem verfahren musst du übrigens darauf achten, dass du immer nur (untereinander) linear unabhängige Vektoren auf die rechte Seite stellst !)
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:13 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Hollo |
Danke leute! Alle (un)klarheiten beseitigt. Den link den du angegeben hast hatte ich übrigens schon gefunden. Das Problem ist wir haben noch keine Matrizenrechnung eingeführt...
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