Basis, Dimension eines VR < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme Basis u. Dimension des Unterraums des [mm] R^4, [/mm] der aus allen Vektoren [mm] (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) [/mm] besteht, die folgende Gleichungen erfüllen:
a) [mm] 3x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0
[/mm]
[mm] 5x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}=0
[/mm]
b) [mm] x_{1}-4x_{2}+3x_{3}- x_{4}=0
[/mm]
[mm] 2x_{1}-8x_{2}+6x_{3}-2x_{4}=0
[/mm]
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Meine Lösungsvorschläge:
für a):
ich hab 4 variable u. 2 Gleichungen ==> kann 2 Variable frei wählen, wähle [mm] x_{1}, x_{4} [/mm] frei. Also:
[mm] x_{2}=-3x_{1}-x_{3}-x_{4}
[/mm]
[mm] x_{2}= 5x_{1}+x_{3}-x_{4}
[/mm]
==> [mm] x_{2}=x_{1}-x_{4} [/mm] ==> [mm] x_{3}=-4x_{1}
[/mm]
Setze [mm] x_{1}=1, x_{4}=0 [/mm] ==> [mm] x_{2}=1, x_{3}=-4
[/mm]
Setze [mm] x_{1}=0, x_{4}=1 [/mm] ==> [mm] x_{2}=-1, x_{3}=0
[/mm]
Daher ergibt sich folgende Basis: ((1,1,-4,0), (0,-1,0,1))weswegen die Dimension 2 ist.
Könnte mir bitte wer bestätigen, ob meine Vorgehensweise korrekt ist???
b) analog nur dass die 2. Gleichung ein Vielfaches der 1. ist ==> Dimension des Unterraums ist 3, also kann ich 3 Variable frei wählen. Setze dann irgendwelche Werte ein u. berechne Basis wie oben.
Wär sehr lieb, wenn sich das schnell wer anschauen könnte! Danke Lg Manuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mi 06.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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