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Basis Annihilator: Tipp,korrektur
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:53 Sa 24.10.2015
Autor: nkln

Aufgabe
Es sei [mm] $V:=\IF^{6}_2$ [/mm] und  $U$  der von [mm] $(1,1,1,0,1,1)^{t},(1,1,0,1,1,0)^{t}$ [/mm] und [mm] $(0,0,1,1,0,1)^{t}$ [/mm] erzeuget Unterraum.Geben sie eine Basis des Annihilators [mm] $U^{0}$ [/mm] an.

lösung:

Annihilator definition [mm] $U^{0}=\{\phi \in V^{*}| \phi (U)=0}$ [/mm]

ich weis,dass das ich den kern der matrix [mm] $\pmat{ 1&1&1&0&1&1\\ 1&1&0&1&1&0 \\0&0&1&1&0&1}$. [/mm] ich weis,aber nicht wie's begründen soll.

Nichtsdesto trotz

mit gauss algorithmus

[mm] $\pmat{ 1&1&1&0&1&1\\ 1&1&0&1&1&0 \\0&0&1&1&0&1} [/mm] $.

zweite zeile minus erste

[mm] $\pmat{ 1&1&1&0&1&1\\ 0&0&1&1&0&1 \\0&0&1&1&0&1} [/mm] $

dritte zeile minus zweite

[mm] $\pmat{ 1&1&1&0&1&1\\ 0&0&1&1&0&1 \\0&0&0&0&0&0} [/mm] $


Lösungen [mm] $x_1=-( x_2+x_3+x_5+x_6)$ [/mm] , da wir im [mm] $\IF^{6}_2$ [/mm] sind wird $ -1=1 [mm] \Rightarrow x_1= x_2+x_3+x_5+x_6$ [/mm] und [mm] $x_3=x_4+x_6$ [/mm] wegen des Vorzeichens gleiche argumentation,wie im anderen Hauptsatz.

nun fehlen uns lösungen [mm] $x_2,x_4,x_5,x_6,$ [/mm] die wir ergänzen mit

$ [mm] x_2=a ,x_4=b,x_5=c,x_6=d [/mm] $ mit [mm] $\forall [/mm] a,b,c,d [mm] \in \IF_2$ [/mm]

Eingesetzt folgt daraus  [mm] $x_3=x_4+x_6=b+d$ [/mm]  und [mm] $x_1= [/mm] a+b+d+c+d= a+b+c+2*d=a+b+c$ da $2*d=0$ ist ,weil im [mm] $\IF_2$ [/mm] entweder $2*0=0 $passiert oder $2*1=0$ ist.  

Folglich [mm] $x_1= [/mm] a+b+c [mm] ,x_2=a,x_3=b+d,x_4=b,x_5=c,x_6=d$ [/mm]

daraus ergibt sich die basis [mm] $<\vektor{1 \\ 1\\0\\0\\0\\0},\vektor{1 \\ 0\\1\\1\\0\\0},\vektor{1 \\ 0\\0\\0\\1\\0},\vektor{0 \\ 0\\1\\0\\0\\1}>$ [/mm]


kann man das so machen?


liebe grüße euch allen :))

        
Bezug
Basis Annihilator: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Mo 26.10.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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