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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 So 18.01.2009 | | Autor: | sassa |
| Aufgabe | Sei f : [mm] \IR [/mm] 5 [mm] \to \IR [/mm] 4 eine durch f(x) = Ax für alle x [mm] \in \IR [/mm] 5
definierte Abbildung mit
A = [mm] \pmat{ 2 & 3 & 5 & 1 & 8\\ -1 & 0 & -1 & 0 & -1 \\ 3 & -2 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 5 & 0 & 9 }
[/mm]
Man gebe eine Basis von Bild f und eine Basis von Kern f an. |
soweit ich weiss ist dim(Bild(f)) = rang(A)
dazu bestimmt man erstmal den Rang von A. das macht man indem man A in Zeilenstufenform bringt : [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] jetzt lässt sich leicht die den Rang bzw die dimension bestimmen die ist nämlich 3 ?
Außerdem weißt ich , dass die Spalten von A das Bild aufspannen.
muss ich mir nun also 2 linear unabhängige Spalten von A heraussuchen dann hab ich die Basis des Bildes ? wären dann eine Basis des Bildes [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] ?
und zu der Bestimmung des Kern. da muss ja Ax= 0 gelöst werden und der Lösungsraum ist dann ja der Kern soweit ich weiss.
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
aus der Matrix kann man dann sehen das :
x4= 0 und x5 kann man frei Wählen. also sag ich mal x5= r dass jetzt in die zweite Zeile eingesetzt:
x2 + x3+ 2t = 0 das stell ich nach x3 also x3 = -2r-x2 und jetzt noch die erste zeile x1+x3+r = 0 also x1= r + x2
Was will und das nun sagen?
wir haben 4 Lösungen also besteht die Basis des Kernes aus 4 Elementen oder versteh ich da was falsch ?
und wie komm ich den jetzt auf die Bases des Kerns ?
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Hallo sassa,
> Sei f : [mm]\IR[/mm] 5 [mm]\to \IR[/mm] 4 eine durch f(x) = Ax für alle x
> [mm]\in \IR[/mm] 5
> definierte Abbildung mit
> A = [mm]\pmat{ 2 & 3 & 5 & 1 & 8\\ -1 & 0 & -1 & 0 & -1 \\ 3 & -2 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 5 & 0 & 9 }[/mm]
>
> Man gebe eine Basis von Bild f und eine Basis von Kern f
> an.
> soweit ich weiss ist dim(Bild(f)) = rang(A)
>
> dazu bestimmt man erstmal den Rang von A. das macht man
> indem man A in Zeilenstufenform bringt : [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
> jetzt lässt sich leicht die den Rang bzw die dimension
> bestimmen die ist nämlich 3 ?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Außerdem weißt ich , dass die Spalten von A das Bild
> aufspannen.
> muss ich mir nun also 2 linear unabhängige Spalten von A
> heraussuchen dann hab ich die Basis des Bildes ? wären
> dann eine Basis des Bildes [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm] ?
Das ist nur ein Vektor der Basis des Bildes.
Es gibt insgesamt drei Vektoren der Basis des Bildes.
>
>
> und zu der Bestimmung des Kern. da muss ja Ax= 0 gelöst
> werden und der Lösungsraum ist dann ja der Kern soweit ich
> weiss.
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> aus der Matrix kann man dann sehen das :
> x4= 0 und x5 kann man frei Wählen. also sag ich mal x5=
> r dass jetzt in die zweite Zeile eingesetzt:
> x2 + x3+ 2t = 0 das stell ich nach x3 also x3 = -2r-x2
> und jetzt noch die erste zeile x1+x3+r = 0 also x1= r + x2
>
> Was will und das nun sagen?
> wir haben 4 Lösungen also besteht die Basis des Kernes aus
> 4 Elementen oder versteh ich da was falsch ?
> und wie komm ich den jetzt auf die Bases des Kerns ?
>
Nun, den Parametr x2 kannst Du auch frei wählen.
Sagen wir [mm]x2=s[/mm]
Dann sind die Lösungen
[mm]x1=r+s[/mm]
[mm]x2=s[/mm]
[mm]x3=-2r-s[/mm]
[mm]x4=0[/mm]
[mm]x5=r[/mm]
Oder anders ausgedrückt:
[mm]\pmat{x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 \\ x5}=r*\pmat{1 \\ 0 \\ -2 \\ 0 \\ 1}+s\pmat{1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Die Vektoren
[mm]\pmat{1 \\ 0 \\ -2 \\ 0 \\ 1}, \ \pmat{1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
bilden eine Basis des Kerns.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 So 18.01.2009 | | Autor: | sassa |
danke schon mal
aber wie woher weisst du den das du x2 frei wählen kannst? und wie sieht den nun die Basis vom Bild aus ? ich bin grad leicht verwirrt thx
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> aber wie woher weisst du den das du x2 frei wählen kannst?
Hallo,
in den Spalten, in denen in der ZSF keine führenden Zeilenelelemente stehen, kannst Du Parameter frei wählen.
Deine Matrix in ZSF war
$ [mm] \pmat{ \red{1} & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & \red{1} & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & \red{1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] $,
die führenden Zeilenelemente habe ich markiert.
Sie befinden sich in der 1., 2. und 4.Spalte, daher sind der 1.,2., 4. der Startvektoren (!) zusammen eine Basis des Bildes, und Du kannst in die 3. und 5. Variable frei wählen.
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Daß Du alternativ zum 2. auch den 3. nehmen könntest, wie Dir schachuzipus sagt, stimmt auch. Aber es merkt sich dieses als Kochrezept sehr schön:
Nimm als Basis die Startvektoren, die in den Spalten standen, in denen nun führende Zeilenelemente sind.
Nimm als freie Variablen die der verbleibenden Positionen.
> und wie sieht den nun die Basis vom Bild aus ? i
Eine hat Dir schachuzipus vorgerechnet, und nun kannst Du ja mit den freien Variablen [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_5 [/mm] auch mal eine ausrechnen.
Achtung: wenn Übungsleiter, Kommilitonen oder Matheraumhelfer eine andere Basis haben, muß das nicht heißen, daß Deine falsch ist. Normalerweise gibt es viele Basen, von denen man eine bestimmt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:04 So 18.01.2009 | | Autor: | MathePower |
Hallo angela.h.b.,
> Daß Du alternativ zum 2. auch den 3. nehmen könntest, wie
> Dir schachuzipus sagt, stimmt auch. Aber es merkt sich
> dieses als Kochrezept sehr schön:
> Eine hat Dir schachuzipus vorgerechnet, und nun kannst Du
> ja mit den freien Variablen [mm]x_3[/mm] und [mm]x_5[/mm] auch mal eine
> ausrechnen.
Ich wußte gar nicht, daß die Ähnlichkeit meinerseits
mit schachuzipus so groß ist.
>
> Gruß v. Angela
Gruß
MathePower
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> Ich wußte gar nicht, daß die Ähnlichkeit meinerseits
> mit schachuzipus so groß ist.
Oh.
Ich habe meine Brille gerade nicht auf - und hoffe nun stark, daß ich Dich nicht beleidigt habe durch die Verwechslung.
Falls doch und auch, wenn nicht: Entschuldigung!
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:27 So 18.01.2009 | | Autor: | MathePower |
Hallo angela.h.b.,
>
> > Ich wußte gar nicht, daß die Ähnlichkeit meinerseits
> > mit schachuzipus so groß ist.
>
> Oh.
>
> Ich habe meine Brille gerade nicht auf - und hoffe nun
> stark, daß ich Dich nicht beleidigt habe durch die
> Verwechslung.
Du hast mich in keinster Weise beleidigt.
>
> Falls doch und auch, wenn nicht: Entschuldigung!
>
> Gruß v. Angela
Gruß
MathePower
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