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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 Mo 05.09.2005 | | Autor: | Pacapear |
Hallo ihr Lieben!
Ich habe große Probleme mit dem Begriff der Basis .
Ich weiß überhaupt nicht, was eine Basis überhaupt ist, woraus sie besteht und wie man so etwas bestimmt.
Es wäre echt super, wenn ihr mir helfen könntet.
Liebe Grüße, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 Mo 05.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Eine Basis eines Vektorraums ist eine Menge von Vektoren, so dass sich jeder Vektor des Vektorraums in eindeutiger Weise als Linearkombination der Vektoren dieser Menge schreiben lässt.
Bleiben wir mal im Falle, wo wir nur endliche (ungeordnete) Basen betrachten, also endlichdimensionale Vektorräume.
Also: [mm] $\{v_1,\ldots,v_n\} \subseteq [/mm] V$ ist eine Basis eines $K$-Vektorraums $V$, wenn sich jedes $v [mm] \in [/mm] V$ eindeutig in der Form
$v= [mm] \lambda_1 v_{1} [/mm] + [mm] \lambda_2 v_{2} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \lambda_n v_n$
[/mm]
schreiben lässt, d.h.
1) für alle $v$ gibt es solche Skalare [mm] $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ [/mm] (bedeutet: [mm] $\{v_1,\ldots,v_n\}$ [/mm] ist ein Erzeugendensystem),
2) für jedes $v$ sind die Skalare eindeutig bestimmt (bedeutet: [mm] $\{v_1,\ldots,v_n\}$ [/mm] ist linear unabhängig).
Um 2) zu überprüfen, genügt es zu zeigen, dass für den Nullvektor $0 [mm] \in [/mm] V$ nur die triviale Linearkombination
$0 = 0 [mm] \cdot v_1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + 0 [mm] \cdot v_n$
[/mm]
möglich ist, sprich:
[mm] $\lambda_1 v_1 [/mm] + [mm] \ldots \lambda_n v_n [/mm] = 0 [mm] \quad \Rightarrow \quad [/mm] 0 = [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] \lambda_n$.
[/mm]
Du solltest dir auch einmal ![[]](/images/popup.gif) das hier durchlesen. Der Titel soll keine Beleidigung darstellen. 
Liebe Grüße
Julius
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