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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 Do 13.05.2010 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | | Beweise, dass die Einheitsvektoren keine Basis für den VR aller Folgen mit Folgengliedern aus [mm] \mathbb{C} [/mm] bilden. |
Hallo.
Ich habe nur vage Ansätze dazu: Wäre die Menge aller Einheitsvektoren eine Basis dieses Vektorraums, dann hätte dieser Vektorraum ja unendliche Dimension. Trotzdem müsste sich jedes Element des Vektorraums sich als Linearkombination von endlich vielen Basiselementen darstellen lassen. Wähle ich nun eine komplexe Folge, die nicht endlich ist, so bräuchte man unendlich viele Basiselemente, um diese Folge zu erzeugen und damit wäre die Folge nicht in [mm] span(e_1,e_2,...). [/mm] Das ist ein Widerspruch. Also kann die Menge aller Einheitsvektoren keine Basis dieses Vektorraums sein.
Ist das Quatsch? Kann mir jemand weiterhelfen oder einen Tipp geben?
lg moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Do 13.05.2010 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Beweise, dass die Einheitsvektoren keine Basis für den VR
> aller Folgen mit Folgengliedern aus [mm]\mathbb{C}[/mm] bilden.
> Hallo.
> Ich habe nur vage Ansätze dazu: Wäre die Menge aller
> Einheitsvektoren eine Basis dieses Vektorraums, dann hätte
> dieser Vektorraum ja unendliche Dimension. Trotzdem müsste
> sich jedes Element des Vektorraums sich als
> Linearkombination von endlich vielen Basiselementen
> darstellen lassen. Wähle ich nun eine komplexe Folge, die
> nicht endlich ist, so bräuchte man unendlich viele
> Basiselemente, um diese Folge zu erzeugen und damit wäre
> die Folge nicht in [mm]span(e_1,e_2,...).[/mm] Das ist ein
> Widerspruch. Also kann die Menge aller Einheitsvektoren
> keine Basis dieses Vektorraums sein.
> Ist das Quatsch? Kann mir jemand weiterhelfen oder einen
> Tipp geben?
> lg moerni
Das hört sich gut an. Aber es scheitert schon daran, dass die Einheitsvektoren selber endliche Dimension haben und damit versucht man einen Vektor unendlicher Dimension linear zu kombinieren. Das geht schon mal nicht...
Also - richtige Idee.
Grüße,
dormant
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:13 Do 13.05.2010 | | Autor: | moerni |
Vielen Dank erstmal für die rasche Antwort! Ich stelle gerad im Vergleich zu deiner Antwort fest, dass in der Aufgabenstellung der Einheitsvektor geschrieben wird als [mm] e_i=(0,...,0,1,0,....). [/mm] Ich denke also, dass das bedeutet, dass die Dimension des i-ten "Einheits"vektor unendlich ist? Würde dann mein Ansatz stimmen?
lg moerni
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> Beweise, dass die Einheitsvektoren keine Basis für den VR
> aller Folgen mit Folgengliedern aus [mm]\mathbb{C}[/mm] bilden.
> Hallo.
> Ich habe nur vage Ansätze dazu: Wäre die Menge aller
> Einheitsvektoren eine Basis dieses Vektorraums, dann hätte
> dieser Vektorraum ja unendliche Dimension.
> Trotzdem müsste
> sich jedes Element des Vektorraums sich als
> Linearkombination von endlich vielen Basiselementen
> darstellen lassen.
Hallo,
ja, damit triffst Du den entscheidenden Punkt.
> Wähle ich nun eine komplexe Folge, die
> nicht endlich ist,
z.B. (1,1,1,1,...),
> so bräuchte man unendlich viele
> Basiselemente,
Einheitsvektoren
> um diese Folge zu erzeugen und damit wäre
> die Folge nicht in [mm]span(e_1,e_2,...).[/mm] Das ist ein
> Widerspruch. Also kann die Menge aller Einheitsvektoren
kein Erzeugendensystem und somit
> keine Basis dieses Vektorraums sein.
> Ist das Quatsch?
Nein, das ist kein Quatsch.
Es stimmt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:42 Fr 14.05.2010 | | Autor: | moerni |
Vielen lieben Dank 
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