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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Do 16.11.2006 | | Autor: | doener |
hallo
habe folgende aufgabe:
es sei W der vektorraum aller reellen polynome p(x), deren grad höchstens 3 ist und für die gilt p(1) = p(-1). man bestimme eine Basis und die Dimension von W.
jetzt wenn s mir recht ist wäre [mm] \{ 1, x , x^{2} , x^{3} \} [/mm] eine basis für die polynome vom grad [mm] \le [/mm] 3. doch wie integriert man jetzt die nebenbedingung?
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Hallo Jonas,
die von Dir angegebene Basis ist eine Basis vom VR der Polynome mit höchstens Grad 3, so wie Du das auch beschrieben hast.
Er enthält damit Polynome, die nicht die Randbedingung erfüllen. Ich versuch mal die Polynome zu finden, die diese Randbedingung erfüllen.
Polynome vom Grad 0, also Konstanten erfüllen diese Randbedingng bestimmt, denn für [mm] p_0(x)=c [/mm] gilt ja auch [mm] p_0(-1)=p_0(1)=c. [/mm] Ok die brauchen wir also im Topf.
Für Polynome vom Grad 1, also der Form [mm] p_1(x)=bx [/mm] +c mit a [mm] \ne [/mm] 0 gilt also [mm] p_1(-1)=-b+c \ne p_1(1)=b+c. [/mm] Die wollen wir also nicht haben.
Von den Polynomen vom Grad 2 mit der Form [mm] p_2(x)=ax^2+bx+c [/mm] suchen wir wieder nur dijenigen, für die gilt
[mm] p_2(-1)=a(-1)^2-b+c=p_2(1)=a(1)^2+b+c [/mm] also mit b=-b und das geht natürlich nur, wenn b=0 ist.
Bei den Polynomen von Grad 3 müssen wir genauso vorgehen. Sie sind von der Form [mm] p_3(x)=dx^3+ax^2+bx+c [/mm] und wir brauche davon wieder nur die mit
[mm] p_3(-1)=-d+a-b+c=p_3(1)=d+a+b+c
[/mm]
das kann man vereinfachen zu
[mm] p_3(-1)=-d-b=-(d+b)=p_3(1)=d+b
[/mm]
also muss gelten d+b=0 bzw. d=-b
Damit kommen für eine Basis des Vektorraums folgende Vektoren in Frage {1, [mm] x^2, x^3-x}. [/mm] Dass das eine Basis ist, musst Du natürlich noch beweisen.
Hoffe, das hilft Dir weiter.
Gruß
Jürgen
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Hallo Jonas,
die von Dir angegebene Basis ist eine Basis vom VR der Polynome mit höchstens Grad 3, so wie Du das auch beschrieben hast.
Er enthält damit Polynome, die nicht die Randbedingung erfüllen. Ich versuch mal die Polynome zu finden, die diese Randbedingung erfüllen.
Polynome vom Grad 0, also Konstanten erfüllen diese Randbedingng bestimmt, denn für [mm] p_0(x)=c [/mm] gilt ja auch [mm] p_0(-1)=p_0(1)=c. [/mm] Ok die brauchen wir also im Topf.
Für Polynome vom Grad 1, also der Form [mm] p_1(x)=bx [/mm] +c mit a [mm] \ne [/mm] 0 gilt also [mm] p_1(-1)=-b+c \ne p_1(1)=b+c. [/mm] Die wollen wir also nicht haben.
Von den Polynomen vom Grad 2 mit der Form [mm] p_2(x)=ax^2+bx+c [/mm] suchen wir wieder nur dijenigen, für die gilt
[mm] p_2(-1)=a(-1)^2-b+c=p_2(1)=a(1)^2+b+c [/mm] also mit b=-b und das geht natürlich nur, wenn b=0 ist.
Bei den Polynomen von Grad 3 müssen wir genauso vorgehen. Sie sind von der Form [mm] p_3(x)=dx^3+ax^2+bx+c [/mm] und wir brauche davon wieder nur die mit
[mm] p_3(-1)=-d+a-b+c=p_3(1)=d+a+b+c
[/mm]
das kann man vereinfachen zu
[mm] p_3(-1)=-d-b=-(d+b)=p_3(1)=d+b
[/mm]
also muss gelten d+b=0 bzw. d=-b
Damit kommen für eine Basis des Vektorraums folgende Vektoren in Frage [mm] \{1, x^2, x^3-x\}. [/mm] Dass das eine Basis ist, musst Du natürlich noch beweisen.
Hoffe, das hilft Dir weiter.
Gruß
Jürgen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Do 16.11.2006 | | Autor: | doener |
hey besten dank!
noch ne frage: du schreibs, dass man noch überprüfen muss, dass das eine Basis ist. meinst du damit, dass man zeigen muss, dass die 3 elemente linear unabhängig sind?
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> hey besten dank!
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> noch ne frage: du schreibs, dass man noch überprüfen muss,
> dass das eine Basis ist. meinst du damit, dass man zeigen
> muss, dass die 3 elemente linear unabhängig sind?
Hallo,
man muß sich vergewissern, daß sie linear unabhängig sind, und daß sie den fraglichen Raum erzeugen. Letzteres hat jbulling ja schon gezeigt, bleibt also die Unabhängigkeit.
Gruß v. Angela
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