Basis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Mo 18.05.2015 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Sei V ein beliebiger [mm] \IK-Vektorraum [/mm] und A ⊆ V , dann ist die lineare Hülle von A, die durch:
span(A):= [mm] {\summe_{i=1}^{k} \lambda_{i}a_{i} | k \in \IN, a \in A,\lambda \in \IK}
[/mm]
gegeben ist, ebenfalls ein Vektorraum.
a)Bestimmen Sie eine Basis der linearen Hülle der Vektoren [mm] v_{1}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}, v_{2}=\vektor{2 \\ 1 \\ 3 \\ 1}, v_{3}=\vektor{0 \\ 1 \\ -2 \\ -1}, v_{4}=\vektor{3 \\ 2 \\ 1 \\ 2} [/mm] aus dem [mm] \IR^{4}.
[/mm]
b) Bestimmen Sie eine Basis im Vektorraum der Polynome [mm] span(p_{1},p_{2},p_{3},p_{4})⊆\IK[x], deg(p_{i})\le [/mm] 3 [mm] \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] {1,2,3,4} mit [mm] p_{1}(x)=x^{2}-1 [/mm] , [mm] p_{2}(x)=x^{2}+2x+1, p_{3}(x)=3x^{2}+2x-1, p_{4}(x)=2x+2 [/mm] für [mm] \IK=\IZ_{5} [/mm] und [mm] \IK=\IZ_{2} [/mm] |
Zu a)
Ich habe es in ein GS eingesetzt:
1 2 0 3
0 1 1 2
0 3 -2 1
2 1 -1 2
und bekam am Ende:
[mm] 2\lambda_{1}+\lambda_{2}-\lambda_{3}+2\lambda_{4}=0
[/mm]
[mm] 3\lambda_{2}+\lambda_{3}+4\lambda_{4}=0
[/mm]
[mm] 2\lambda_{3}+2\lambda_{4}=0
[/mm]
und habe nach [mm] \lambda_{3} [/mm] umgestells und bekam:
[mm] \lambda_{1} [/mm] = [mm] \lambda_{3}
[/mm]
[mm] \lambda_{2} [/mm] = [mm] \lambda_{3}
[/mm]
[mm] \lambda_{3} [/mm] = [mm] \lambda_{3}
[/mm]
[mm] \lambda_{4} [/mm] = [mm] -\lambda_{3}
[/mm]
Also ist die Basis B= [mm] \vektor{\lambda_{3} \\ \lambda_{3} \\\lambda_{3} \\ -\lambda_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
Zu b)
Ich habe die Polynome in ein GS eingesetzt:
1 1 3 0
0 2 2 2
-1 1 -1 2
für [mm] \IK=\IZ_{5} [/mm] habe ich als Basis:
[mm] B=\vektor{-2\lambda_{3}-\lambda_{4} \\ -\lambda_{3}-\lambda_{4} \\\lambda_{3} \\ -\lambda_{4}} [/mm] = [mm] {\vektor{-2 \\ -1 \\ 1 \\ 0},\vektor{-1 \\ -1 \\ 0 \\ 1}}
[/mm]
und für [mm] \IK=\IZ_{2} [/mm] habe ich als Basis:
B= [mm] {\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}}
[/mm]
Ich glaube aber, dass ich die Basis falsch gebildet habe. Kann mal jemand nachrechten / prüfen ob meine Ergebnisse stimmen ?
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> Sei V ein beliebiger [mm]\IK-Vektorraum[/mm] und A ⊆ V , dann ist
> die lineare Hülle von A, die durch:
>
> span(A):= [mm]{\summe_{i=1}^{k} \lambda_{i}a_{i} | k \in \IN, a \in A,\lambda \in \IK}[/mm]
>
> gegeben ist, ebenfalls ein Vektorraum.
>
> a)Bestimmen Sie eine Basis der linearen Hülle der Vektoren
> [mm]v_{1}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}, v_{2}=\vektor{2 \\ 1 \\ 3 \\ 1}, v_{3}=\vektor{0 \\ 1 \\ -2 \\ -1}, v_{4}=\vektor{3 \\ 2 \\ 1 \\ 2}[/mm]
> aus dem [mm]\IR^{4}.[/mm]
>
> b) Bestimmen Sie eine Basis im Vektorraum der Polynome
> [mm]span(p_{1},p_{2},p_{3},p_{4})⊆\IK[x], deg(p_{i})\le[/mm] 3
> [mm]\forall[/mm] i [mm]\in[/mm] {1,2,3,4} mit [mm]p_{1}(x)=x^{2}-1[/mm] ,
> [mm]p_{2}(x)=x^{2}+2x+1, p_{3}(x)=3x^{2}+2x-1, p_{4}(x)=2x+2[/mm]
> für [mm]\IK=\IZ_{5}[/mm] und [mm]\IK=\IZ_{2}[/mm]
>
> Zu a)
> Ich habe es in ein GS eingesetzt:
>
> 1 2 0 3
> 0 1 1 2
> 0 3 -2 1
> 2 1 -1 2
>
> und bekam am Ende:
>
> [mm]2\lambda_{1}+\lambda_{2}-\lambda_{3}+2\lambda_{4}=0[/mm]
> [mm]3\lambda_{2}+\lambda_{3}+4\lambda_{4}=0[/mm]
> [mm]2\lambda_{3}+2\lambda_{4}=0[/mm]
>
> und habe nach [mm]\lambda_{3}[/mm] umgestells und bekam:
>
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = [mm]\lambda_{3}[/mm]
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = [mm]\lambda_{3}[/mm]
> [mm]\lambda_{3}[/mm] = [mm]\lambda_{3}[/mm]
> [mm]\lambda_{4}[/mm] = [mm]-\lambda_{3}[/mm]
>
> Also ist die Basis B= [mm]\vektor{\lambda_{3} \\ \lambda_{3} \\\lambda_{3} \\ -\lambda_{3}}[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ -1}[/mm]
Hallo,
die Formulierung ist nix...
Sicher willst Du sagen, daß [mm] span(\{v_1, v_2, v_3,v_4\})=\{\vektor{\lambda_{3} \\ \lambda_{3} \\\lambda_{3} \\ -\lambda_{3}}|\lambda_3\in\IR\},
[/mm]
und daß der Vektor [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ -1} [/mm] eine Basis von [mm] span(\{v_1, v_2, v_3,v_4\}) [/mm] ist.
Richtig ist: [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ -1} [/mm] ist eine Basis von [mm] \{\vektor{\lambda_{3} \\ \lambda_{3} \\\lambda_{3} \\ -\lambda_{3}}|\lambda_3\in\IR\}.
[/mm]
Nicht richtig ist: [mm] span(\{v_1, v_2, v_3,v_4\})=\{\vektor{\lambda_{3} \\ \lambda_{3} \\\lambda_{3} \\ -\lambda_{3}}|\lambda_3\in\IR\}
[/mm]
Weißt Du denn überhaupt, was eine Basis ist?
Weißt Du, daß eine Basis ein (minimales) Erzeugendensystem ist?
Falls ja: merkste was?
Kannst Du die Vektoren [mm] v_1,...,v_4 [/mm] mit Deiner Basis erzeugen?
Man kann Basen auf durch schematisches Matrixumformen bestimmen - aber zuvor sollte man im Idealfall in etwa verstanden haben, wonach man sucht.
Aufgepaßt:
Du hast ein Erzeugendensystem aus 4 Vektoren.
Dieses enthält eine Basis.
Du kannst jetzt versuchen, aus den 4 Vektoren eine maximale linear unabhängige Teilmenge herauszufiltern.
Das wäre eine Basis.
Schematische Vorgehensweisen:
A.
Vektoren in Matrix stellen, auf ZSF bringen.
Führende Elemente der Nichtnullzeilen markieren.
Notieren, in welchen Spalten kein führendes Element steht.
Die entsprechenden Spalten der Startmatrix sind eine Basis des Spans.
B.
Vektoren als Zeilen in Matrix legen
Auf ZSF bringen.
Nichtnullzeilen transponieren (=hinstellen).
Diese Vektoren bilden eine Basis.
>
> Zu b)
>
> Ich habe die Polynome in ein GS eingesetzt:
>
> 1 1 3 0
> 0 2 2 2
> -1 1 -1 2
>
> für [mm]\IK=\IZ_{5}[/mm] habe ich als Basis:
>
> [mm]B=\vektor{-2\lambda_{3}-\lambda_{4} \\ -\lambda_{3}-\lambda_{4} \\\lambda_{3} \\ -\lambda_{4}}[/mm]
> = [mm]{\vektor{-2 \\ -1 \\ 1 \\ 0},\vektor{-1 \\ -1 \\ 0 \\ 1}}[/mm]
>
> und für [mm]\IK=\IZ_{2}[/mm] habe ich als Basis:
>
> B= [mm]{\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}}[/mm]
Das ist natürlich schon deshalb nicht richtig, weil die Basis eines Polynomraumes aus Polynomen besteht und nicht aus Spaltenvektoren.
Vorgehensweise:
max. linear unabhängige Teilmenge ausfiltern.
Alternativ (schimpansisch):
Koordinatenvektoren bzgl der Standardbasis bilden und dann vorgehen wie in a) beschrieben,
gefundene Basis dann im Polynome umwandeln.
Versuch mal.
LG Angela
>
> Ich glaube aber, dass ich die Basis falsch gebildet habe.
> Kann mal jemand nachrechten / prüfen ob meine Ergebnisse
> stimmen ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Mo 18.05.2015 | | Autor: | rsprsp |
Ich habe die Vektoren nach lineare Abhängigkeit untersucht und habe festgestellt, dass 2 Vektoren linear Abhängig sing.
Es kam raus:
[mm] \lambda_{1}+2\lambda_{2}+2\lambda_{4}=0
[/mm]
[mm] \lambda_{2}+\lambda_{3}+2\lambda_{4}=0 [/mm]
[mm] \lambda_{3}+\lambda_{4}=0 [/mm]
Ist die Basis jetzt B = { [mm] \vektor{\lambda_{1} \\ 2\lambda_{2} \\ 0 \\ 3\lambda_{4}} [/mm] , [mm] \vektor{ 0 \\ \lambda_{2} \\ \lambda_{3} \\ 2\lambda_{4}} [/mm] , [mm] \vektor{ 0 \\ 0 \\ \lambda_{3} \\ \lambda_{4}}}
[/mm]
??????
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:17 Mo 18.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe die Vektoren nach lineare Abhängigkeit untersucht
> und habe festgestellt, dass 2 Vektoren linear Abhängig
> sing.
wie hast Du das festgestellt?
Wenn eine Basis für
[mm] $\text{span}(w_1,w_2,w_3,w_4)$
[/mm]
gesucht ist, und bspw. [mm] $(w_2,w_3)$ [/mm] ist eine linear abhängige Familie, so folgt
[mm] $\text{span}(w_1,w_2,w_3,w_4)=\text{span}(w_1,w_2,w_4)$
[/mm]
und auch
[mm] $\text{span}(w_1,w_2,w_3,w_4)=\text{span}(w_1,w_3,w_4)$.
[/mm]
Wenn nun [mm] $(w_1,w_3,w_4)$ [/mm] linear unabhängig sind, dann bildet diese Familie
EINE (nicht DIE) Basis für [mm] $\text{span}(w_1,w_2,w_3,w_4)$.
[/mm]
> Es kam raus:
>
> [mm]\lambda_{1}+2\lambda_{2}+2\lambda_{4}=0[/mm]
> [mm]\lambda_{2}+\lambda_{3}+2\lambda_{4}=0[/mm]
> [mm]\lambda_{3}+\lambda_{4}=0[/mm]
>
> Ist die Basis jetzt B = [mm]\{\vektor{\lambda_{1} \\ 2\lambda_{2} \\ 0 \\ 3\lambda_{4}}[/mm] , [mm]\vektor{ 0 \\ \lambda_{2} \\ \lambda_{3} \\ 2\lambda_{4}}[/mm] , [mm]\vektor{ 0 \\ 0 \\ \lambda_{3} \\ \lambda_{4}}\}[/mm]
> ??????
Wenigstens die
> ??????
sind hier absolut passend. Nicht raten!
Aus dem Schema
1 2 0 2
0 1 1 2
0 0 1 1
0 0 0 0
kannst Du was rauslesen - schau, was Angela dazu geschrieben hat. (Man
spricht auch von *Pivotelementen*). Ich erkenne so, dass die Familie
[mm] $\left( v_{1}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}, v_{2}=\vektor{2 \\ 1 \\ 3 \\ 1}, v_{3}=\vektor{0 \\ 1 \\ -2 \\ -1}\right)$
[/mm]
(oder aber auch die Familie
[mm] $\left(v_{1}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}, v_{2}=\vektor{2 \\ 1 \\ 3 \\ 1}, v_{4}=\vektor{3 \\ 2 \\ 1 \\ 2}\right)$
[/mm]
jeweils) EINE Basis des gesuchten Spans bildet (bilden).
(Eine schöne Formulierung, die ich noch etwas ergänzt habe:
"Es sind also z.B. die Spalten (der Ausgangsmatrix) linear unabhängig, die
in der Zeilenstufenform zu ![[]](/images/popup.gif) Pivotspalten werden.")
Oder Du verfolgst den Vorschlag, den Angela auch genannt hat, dass Du
die Vektoren als Zeilenvektoren reinschreibst (Deine jetzige Matrix
transponieren):
Illustration an einem anderen Beispiel:
Stelle Dir einfach vor, die Vektoren (2,1,0), (1,2,3) und (1,0,-1) von
Aufgabe 1
wären ursprunglich als Spaltenvektoren gegeben. Dann schreibst Du sie
als Zeilenvektoren auf und alles sieht so aus, wie es in der Aufgabe dort in
der Musterlösung steht.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 Mo 18.05.2015 | | Autor: | rsprsp |
Aso ich habs!!
Ich habe jetzt die Matrix transponiert:
1 0 0 2
2 1 3 1
0 1 -2 -1
3 2 1 2
und bekam am Ende:
1 0 0 2
0 1 -2 -1
0 0 -5 2
0 0 0 0
also
ist eine Basis B = { [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 2} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ -2 \\ -1} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ -5 \\ 2} [/mm] }
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Mo 18.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Aso ich habs!!
>
> Ich habe jetzt die Matrix transponiert:
>
> 1 0 0 2
> 2 1 3 1
> 0 1 -2 -1
> 3 2 1 2
genau - ich finde diesen Weg auch *logischer*. Alternativ könnte man auch
den Gaußalgorithmus umschreiben, so dass man ihn auf Spalten statt
Zeilen anwendet. Aber das ist im Endeffekt das gleiche wie hier...
Eine Kleinigkeit:
Die erste Zeile sollte sicher
1 0 0 1
lauten. Oder hast Du hier
https://matheraum.de/read?t=1058690
[mm] $v_1$ [/mm] falsch? Dort steht [mm] $\vektor{1\\0\\0\\1}$...
[/mm]
> und bekam am Ende:
>
> 1 0 0 2
> 0 1 -2 -1
> 0 0 -5 2
> 0 0 0 0
>
> also
>
> ist eine Basis B = [mm]\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 2}[/mm] , [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ -2 \\ -1}[/mm], [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ -5 \\ 2}\}[/mm]
Siehe oben. Eventuell musst Du nochmal rechnen (oder gucken, welche
Stellen zu korrigieren sind), wenn die letzte Komponente von [mm] $v_1$ [/mm] doch 1 und
nicht 2 ist.
Aber ich denke, dass Du das Verfahren an und für sich verstanden hast!
Gruß,
Marcel
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