Basen zweier UV in R4 < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:25 Fr 16.12.2011 | | Autor: | Domme |
| Aufgabe | Gegeben seien zwei Untervektorräume U und V des [mm] \IR^{4} [/mm] mit Basen
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 2}, \vektor{3 \\ 1 \\ 0 \\ 1}, \vektor{0 \\ 4 \\ -1 \\ 2}(zu [/mm] U), [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}(zu [/mm] V),
Bestimmen Sie Basen für U [mm] \cap [/mm] V und U+V. |
Ich soll ja die Basen der Summe und des Durchschnitts ausrechnen.
Da das eine Aufgabe ist, die unsere Vorlesung etwas vorgreift (ich aber die Punkte brauche ;)), wollte ich fragen, ob mir jemand sagen kann, wie man das den macht?
Habe mich schon im Internet umgeschaut und habe auch Bücher gewelzt, aber es ist leider sehr mathematisch und abstrakt erklärt.
Es wäre nett, wenn man mir solch eine Problemlösung etwas "nicht mathematishcher" erklären? (Oder vielleicht auch ein Beispiel geben?)
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> Gegeben seien zwei Untervektorräume U und V des [mm]\IR^{4}[/mm]
> mit Basen
>
> [mm]\vektor{1 \\
1 \\
0 \\
2}, \vektor{3 \\
1 \\
0 \\
1}, \vektor{0 \\
4 \\
-1 \\
2}(zu[/mm]
> U), [mm]\vektor{1 \\
1 \\
0 \\
0}, \vektor{1 \\
0 \\
0 \\
0}(zu[/mm]
> V),
> Bestimmen Sie Basen für U [mm]\cap[/mm] V und U+V.
> Ich soll ja die Basen der Summe und des Durchschnitts
> ausrechnen.
> Da das eine Aufgabe ist, die unsere Vorlesung etwas
> vorgreift (ich aber die Punkte brauche ;)), wollte ich
> fragen, ob mir jemand sagen kann, wie man das den macht?
> Habe mich schon im Internet umgeschaut und habe auch
> Bücher gewelzt, aber es ist leider sehr mathematisch und
> abstrakt erklärt.
> Es wäre nett, wenn man mir solch eine Problemlösung
> etwas "nicht mathematishcher" erklären? (Oder vielleicht
> auch ein Beispiel geben?)
Hallo,
auch wenn Du's lieber unmathematisch magst: Du solltest doch mal nachschauen, wie die Summe zweier Vektorräume definiert ist.
Wenn Du das getan hast, wirst Du verstehen, daß [mm] U+V=<$\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 2}, \vektor{3 \\ 1 \\ 0 \\ 1}, \vektor{0 \\ 4 \\ -1 \\ 2} $\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}>. [/mm] Die spitzen Klammern stehen hier für lineare Hülle/Erzeugnis.
Für diesen Raum ist nun eine Basis zu bestimmen.
Du hast doch bestimmt schon Basen von Vektorräumen bestimmt, von denen ein Erzeugendensystem gegeben war. Wie hast Du das gemacht?
(Hier geht's genauso.)
Zum Schnitt:
Im Schnitt liegen die Vektoren, die in beiden Räumen liegen.
Jeden vektor des Schnittes kann man als Linearkombination der 3 Basisvektoren von U schreiben, ebenso als Linearkombination der beiden Basisvektoren von V.
Daraus ergibt sich eine Gleichung, bzw. ein Gleichungssystem. Welches?
Dieses ist nun zu lösen, danch kann man dir weiterhelfen.
Gaußalgorithmus und Zeilenstufenform sind bekannt?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Mo 19.12.2011 | | Autor: | Domme |
Also jetzt zu U+V:
Ich bestimme doch die Rang der Matrix, die ich durch die gesammten Basen bekomme, also
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ } [/mm] wo der Rang = 4 ist.
Also muss ich mir doch aus den obrigen 4 aussuchen, die linear unabhängig sind und die bilden dann die Basis?
Oder bin ich damit auf dem Holzweg?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Mo 19.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Also jetzt zu U+V:
> Ich bestimme doch die Rang der Matrix, die ich durch die
> gesammten Basen bekomme, also
> [mm]\pmat{ 1 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ }[/mm]
> wo der Rang = 4 ist.
> Also muss ich mir doch aus den obrigen 4 aussuchen, die
> linear unabhängig sind und die bilden dann die Basis?
Ja
> Oder bin ich damit auf dem Holzweg?
Nein
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Mo 19.12.2011 | | Autor: | Domme |
Also habe jetzt ein bisschen gerechnet und kam auf diese Ergebnis:
Ich brauche von diesen fünf, 4 die linear unabhängig sind, also habe ich mal
v1: [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 2}, [/mm] v2: [mm] \vektor{0 \\ 4 \\ -1 \\ 2}, [/mm] v3: [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, [/mm] v4: [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] genommen.
Jetzt muss ich lineare unabhängigkeit nachweisen:
[mm] \alpha_{1}*v1 [/mm] + [mm] \alpha_{2}*v2 [/mm] + [mm] \alpha_{3}*v3 [/mm] + [mm] \alpha_{4}*v4 [/mm] = 0
Also habe ich die Matrix aufgestellt:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ }
[/mm]
Nach Umformungen auf Zeilenstufenform:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \\ } [/mm] = 0
daraus folgt, dass [mm] \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=\alpha_{4}=0
[/mm]
und deswegen sind v1,v2,v3,v4 linear unabhänig und bilden deswegen eine Basis von U+V!
Ich hoffe das ist richtig?
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> Also habe jetzt ein bisschen gerechnet und kam auf diese
> Ergebnis:
> Ich brauche von diesen fünf, 4 die linear unabhängig
> sind, also habe ich mal
> v1: [mm]\vektor{1 \\
1 \\
0 \\
2},[/mm] v2: [mm]\vektor{0 \\
4 \\
-1 \\
2},[/mm]
> v3: [mm]\vektor{1 \\
0 \\
0 \\
0},[/mm] v4: [mm]\vektor{1 \\
1 \\
0 \\
0}[/mm]
> genommen.
> Jetzt muss ich lineare unabhängigkeit nachweisen:
> [mm]\alpha_{1}*v1[/mm] + [mm]\alpha_{2}*v2[/mm] + [mm]\alpha_{3}*v3[/mm] +
> [mm]\alpha_{4}*v4[/mm] = 0
>
> Also habe ich die Matrix aufgestellt:
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 4 & -1 & 2 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
}[/mm]
>
> Nach Umformungen auf Zeilenstufenform:
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 4 & -1 & 2 \\
0 & 0 & -1 & -6 \\
0 & 0 & 0 & -2 \\
}[/mm]
> = 0
> daraus folgt, dass
> [mm]\alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=\alpha_{4}=0[/mm]
> und deswegen sind v1,v2,v3,v4 linear unabhänig und bilden
> deswegen eine Basis von U+V!
> Ich hoffe das ist richtig?
Hallo,
Deine Zahlen nachgerechnet habe ich nicht.
Die Vorgehensweise ist völlig richtig.
Gruß v. Angela
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Mo 19.12.2011 | | Autor: | Domme |
Nun zu U [mm] \cap [/mm] V:
Da sich die Vektoren durch beide Linearkombinationen von U und V beschreiben lassen müssen, kommt man doch auf das GLeichungssystem:
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \\ } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\}
[/mm]
oder muss man es so fassen:
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 & 0\\ } [/mm] = 0
?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Mo 19.12.2011 | | Autor: | Domme |
Ich komme bei dem Schnitt einfach nicht weiter?
Habe jetzt versucht die GLeichung aufzustellen, also
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \\ } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\} [/mm] , dann muss man doch die rechte Seite rüber bringen das man bekommt:
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 0 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 & 0\\ } [/mm] = 0
Dann bekomme ich doch raus, dass ich eine Variable frei wählen kann und dann? Verrechne mich ständig und komme auf kein vernünftiges Ergbenis? Wie muss ich den dann weiter machen?
Kann man mir auch bitte sagen, ob ich die Aufgabe für U+V richtig gemacht habe?
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> Ich komme bei dem Schnitt einfach nicht weiter?
>
> Habe jetzt versucht die GLeichung aufzustellen, also
> [mm]\pmat{ 1 & 3 & 0 \\
1 & 1 & 4 \\
0 & 0 & -1 \\
2 & 1 & 2 \\
}[/mm]
> = [mm]\pmat{ 1 & 1 \\
1 & 0 \\
0 & 0 \\
0 & 0 \\
}[/mm] , dann muss
> man doch die rechte Seite rüber bringen das man bekommt:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 3 & 0 & -1 & -1 \\
1 & 1 & 4 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 2 & 0 & 0\\
}[/mm]
> = 0
>
> Dann bekomme ich doch raus, dass ich eine Variable frei
> wählen kann und dann? Verrechne mich ständig und komme
> auf kein vernünftiges Ergbenis? Wie muss ich den dann
> weiter machen?
Hallo,
s. meine andere Antwort.
Zeig die ZSF, gib' die Lösungsmenge des LGS an, dann kann Dir weitergeholfen werden.
>
> Kann man mir auch bitte sagen, ob ich die Aufgabe für U+V
> richtig gemacht habe?
1. Ja. 2. Ja.
Gruß v. Angela
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> Nun zu U [mm]\cap[/mm] V:
> Da sich die Vektoren durch beide Linearkombinationen von U
> und V beschreiben lassen müssen, kommt man doch auf das
> GLeichungssystem:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 3 & 0 \\
1 & 1 & 4 \\
0 & 0 & -1 \\
2 & 1 & 2 \\
}[/mm]
> = [mm]\pmat{ 1 & 1 \\
1 & 0 \\
0 & 0 \\
0 & 0 \\
}[/mm]
>
> oder muss man es so fassen:
> [mm]\pmat{ 1 & 3 & 0 & \red{-}1 & \red{-}1 \\
1 & 1 & 4 & \red{-}1 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 2 & 0 & 0\\
}[/mm]
> = 0
Hallo,
was "muß" man schon...
Ich nehme immer das zweite, aber mit den eingefügten Vorzeichen, dann paßt es genau zu der Ausgangsgleichung.
Bring diese Matrix nun mal auf Zeilenstufenform und gib ihre Lösungsmenge an. Dann kann man Dir weiterkhelfen bei der Interpretation des Ergebnisses.
Gruß v. Angela
> ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Mo 19.12.2011 | | Autor: | Domme |
Habe als Zeilenstufenform raus:
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & -2 & 4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -16 & 4 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & -1\\ } [/mm]
Man sieht ja schon, dass man eine Variable frei wählen muss.
Sagen wir dann mal x5 = frei wählbar.
x4= 1/4* x5
x3 = 0
x2 = 1/2* x5
x1= - 1/4* x5
Wie kann ich das jetzt weiter verwenden?
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> Habe als Zeilenstufenform raus:
> [mm]\pmat{ 1 & 3 & 0 & -1 & -1 \\
0 & -2 & 4 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -16 & 4 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 4 & -1\\
}[/mm]
>
> Man sieht ja schon, dass man eine Variable frei wählen
> muss.
> Sagen wir dann mal x5 = frei wählbar.
> x4= 1/4* x5
> x3 = 0
> x2 = 1/2* x5
> x1= - 1/4* x5
>
> Wie kann ich das jetzt weiter verwenden?
Hallo,
auch das rechne ich nicht nach, ich geh davon aus, daß alles richtig ist.
Ich plädiere für eine Umbenennung der Variablen, denn wir gingen ja aus von der Gleichung
[mm] \lambda_1\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 2}+\lambda_2\vektor{3 \\ 1 \\ 0 \\ 1}+\lambda_3 \vektor{0 \\ 4 \\ -1 \\ 2}=\mu_1\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}+\mu_2\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}.
[/mm]
Das GS wird also gelöst von allen [mm] \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \mu_1, \mu_2 [/mm] mit
[mm] \vektor{\lambda_1\\\lambda_2\\\lambda_3\\\mu_1\\\mu_2}=t\vektor{-0.25\\0.5\\0\\0.25\\1}.
[/mm]
Nun setzen wir in die rechte Seite der Gleichung unser gewonnenes [mm] \mu_1 [/mm] und [mm] \mu_2 [/mm] ein und erhalten, daß die Vektoren [mm] \vec{x}, [/mm] die im Schnitt sind, die Gestalt
[mm] \vec{x}=0.25t\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}+t\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}=t*\vektor{1.25\\0.25\\0\\0} [/mm] haben.
Es ist also [mm] U\cap V=<\vektor\vektor{1.25\\0.25\\0\\0}>
[/mm]
Das entsprechende Ergebnis solltest Du auch beim Einsetzen der [mm] \lambda [/mm] erhalten.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:01 Mo 19.12.2011 | | Autor: | Domme |
Okay, vielen Dank für die Hilfe, damit wäre die Aufgabe ja geschafft ;)
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