Basen von Unterräumen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Di 26.04.2005 | | Autor: | SERIF |
Hallo Zusammen. Ich habe mich mit so eine Aufgabe begegnet.
In [mm] \IR^{4} [/mm] seien die Unterräume,
[mm] U_{1} [/mm] = [mm] \IR \vektor{1 \\ 2\\3\\4}+\IR \vektor{4 \\ 3\\2\\1}+\IR \vektor{1 \\ 0\\1\\0} [/mm]
[mm] U_{2} [/mm] = [mm] \IR \vektor{1 \\ 0\\0\\0}+\IR \vektor{2 \\ 1\\1\\1}
[/mm]
jetz möchte ich Basis von U1, U2 und U1 [mm] \cap [/mm] U2 finden.
Wenn ich Die Vektoren von U1 ohne die [mm] \IR. [/mm] (ist das [mm] \IR [/mm] wichtig, was bedeutet das?) prüfe. dann sind die Dreivektoren linearunabhängig, und daraus folgt dass die dreivektoren Basen von U1 sind. U2 hat zweivektoren. Die sind auch linearunabhängig, also auch Basen von U2.
Muss ich auch die [mm] \IR [/mm] mitrechnen.? Ich möchte erst von U1 und U2 Basen finden damit ich auch eine Basis von U1 [mm] \cap [/mm] U2 rechnen kann. wo muss ich achten, bzw, wie soll ich vorgehen. Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 Di 26.04.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Hallo Zusammen. Ich habe mich mit so eine Aufgabe
> begegnet.
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> In [mm]\IR^{4}[/mm] seien die Unterräume,
>
> [mm]U_{1}[/mm] = [mm]\IR \vektor{1 \\ 2\\3\\4}+\IR \vektor{4 \\ 3\\2\\1}+\IR \vektor{1 \\ 0\\1\\0}[/mm]
> [mm]U_{2}[/mm] = [mm]\IR \vektor{1 \\ 0\\0\\0}+\IR \vektor{2 \\ 1\\1\\1}[/mm]
>
>
> jetz möchte ich Basis von U1, U2 und U1 [mm]\cap[/mm] U2 finden.
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> Wenn ich Die Vektoren von U1 ohne die [mm]\IR.[/mm] (ist das [mm]\IR[/mm]
> wichtig, was bedeutet das?) prüfe. dann sind die
> Dreivektoren linearunabhängig, und daraus folgt dass die
> dreivektoren Basen von U1 sind. U2 hat zweivektoren. Die
> sind auch linearunabhängig, also auch Basen von U2.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") stimmt genau! Die angegebenen Vektoren sind jeweils eine Basis für U1 bzw. U2.
Das [mm] $\IR$ [/mm] bedeutet einfach, dass du davor Skalare aus [mm] $\IR$ [/mm] multiplizierst, um die gesamte Menge
U1 bzw. U2 zu erhalten. (Beachte: Du hast dort oben eine Gleichung von jeweils 2 Mengen!!!)
> Muss ich auch die [mm]\IR[/mm] mitrechnen.? Ich möchte erst von U1
> und U2 Basen finden damit ich auch eine Basis von U1 [mm]\cap[/mm]
> U2 rechnen kann. wo muss ich achten, bzw, wie soll ich
> vorgehen. Danke.
Ich denke die hast du gefunden! Nun musst du eben schaun, wie groß dieser Schnitt ist und dann eventuell auftretende linear abhängige Vektoren rausschmeißen. 
Gruß Micha 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Mi 27.04.2005 | | Autor: | SERIF |
Danke ertmal. ich habe mir so überlegt. Es gibt ja so eine Formel für eine Durchschnitt vom [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] zu rechnen.
[mm] U_{1} \cap U_{2} =(U_{1}^{ \pm}+U_{2}^{ \pm})^{ \pm}
[/mm]
U hoch T (T umgekehrt)
Ich kenne das so. Ich nehme von U1 die drei Basis. Das bringe ich in Zeilenstufenform, dann gibt es ja so eine Trick mit 0 0 0 -1 ergänzen. Dann nehme ich die letzen Spalten. Die Spalten sind dann die Kerne.
Mit U2 mache ich das selber. Und am ende nehme ich die Vektoren von U1 und U2. Von den Vektoren suche ich dann die linearunabhängige raus. Die vektoren sind dann die Basis vom [mm] U_{1} \cap U_{2}.
[/mm]
Ist das richtig? Wir haben das aber noch nicht in der Vorlesung gehabt. Also mit den U hoch T anderesrum. Das zweite Problem ist für mich. Die U1 und U2 ist als Gleichung gegeben. Kann ich die gleichung weglassen, und einfach die Vektoren nehmen? Oder gibt es ein andere Weg für [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] zu rechnen. Die frage war auch, Finden Sie eine Basis vom [mm] U_{1} \cap U_{2}..
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Fr 29.04.2005 | | Autor: | Hexe |
Also eine andere Schreibweise für die Us wäre zum Beispiel [mm] U_2=<\vektor{1\\0\\0\\0},\vektor{2\\1\\1\\1}> [/mm] oder [mm] U_2=a\vektor{1\\0\\0\\0}+b\vektor{2\\1\\1\\1}, a,b\in\IR [/mm]
Wenn du dieses umgedrehte T noch nicht hattest würde ich es auch nicht verwenden sondern stattdessen die normale Berechnung über [mm] U_1=U_2 [/mm] (am besten in der zweiten von mir angegebenen Form)
Du bekommst dann das Gleichungssystem (mit den Parametern x,y,z in [mm] U_1)
[/mm]
x +4y+z=a+2b
2x+3y = b
3x+2y+z= b
4x+ y = b
Jetzt gibt es 2 Möglichkeiten
1. du bekommst etwas wie a=ib+jx Dann ist [mm] U_1 \cap U_2 =U_2 [/mm] und die Basis ist klar
2. Du bekommst a=ib Dann ist die Dimension des Schnittraumes 1 und du bekommst den Basisvektor wenn du a=ib in die Gleichung von [mm] U_2 [/mm] einsetzt
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 14:42 So 01.05.2005 | | Autor: | SERIF |
Es war echt sehr nett von dir Hexe. Ich habe bis zu gleichsetzen verstanden. aber ich komme seit gestern nicht auf deien ergebnisse. eigentlich verstehe ich das nicht so. Wenn es möglich ist. hätte gerne den lösungsweg. Das wird mir echt helfen. Danke.
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