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| Aufgabe | AUFGABE 20 a) Wie viele Elemente hat ein endlich-dimensionaler [mm] \IF_{2} [/mm] -Vektorraum?
b) Wie viele Basen hat der [mm] \IF_{2}^{n} [/mm] ? Hinweis: Ein Vektorsystem [mm] (v_{1}, [/mm] . . . , [mm] v_{m}) [/mm] ist genau dann linear unabhängig, wenn das System [mm] (v_{1}, [/mm] . . . , v m−1 ) linear unabhängig ist und [mm] v_{m} [/mm] nicht in seinem Spann liegt. Dies sollte hier benutzt werden, um eine Basis schrittweise aufzubauen. Sie müssen dann überlegen, wie viele Möglichkeiten Sie bei jedem Schritt haben. |
Hallo liebe Mathematiker !!! Das ist ne Aufgabe die mehr das ganze Wochenende Kopfzerbrechen bereitet hat !!! Die anderen Aufgaben auf dem Blatt habe ich raus, nur bei dieser aufgabe komme ich nicht weiter :(
Ich habe zu a) den Ansatz, dass die (dim U=2) U={0;1} ist !!! Dann hat ein endlich dimensionaler Vektorraum [mm] 2^{n}, [/mm] hatte mir das mit mehreren beispielen klar gemacht und es kommt auch hin ^^
Bei b) komme ich nicht weiter :( Als Tipp haben wir bekommen:
[mm] \lambda v_{1} [/mm] + [mm] \lambda v_{2} \not= v_{3} [/mm] Damit komme ich aber nicht weiter :X
Könnt ihr mir bitte helfen !!! Habe schon andere Studenten gefragt, aber keiner konnte mir die frage beantworten, bzw. ein fingerzeig geben :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 Mo 27.11.2006 | | Autor: | moudi |
> AUFGABE 20 a) Wie viele Elemente hat ein
> endlich-dimensionaler [mm]\IF_{2}[/mm] -Vektorraum?
> b) Wie viele Basen hat der [mm]\IF_{2}^{n}[/mm] ? Hinweis: Ein
> Vektorsystem [mm](v_{1},[/mm] . . . , [mm]v_{m})[/mm] ist genau dann linear
> unabhängig, wenn das System [mm](v_{1},[/mm] . . . , v m−1 )
> linear unabhängig ist und [mm]v_{m}[/mm] nicht in seinem Spann
> liegt. Dies sollte hier benutzt werden, um eine Basis
> schrittweise aufzubauen. Sie müssen dann überlegen, wie
> viele Möglichkeiten Sie bei jedem Schritt haben.
> Hallo liebe Mathematiker !!!
Hallo studiinnot
> Das ist ne Aufgabe die mehr
> das ganze Wochenende Kopfzerbrechen bereitet hat !!! Die
> anderen Aufgaben auf dem Blatt habe ich raus, nur bei
> dieser aufgabe komme ich nicht weiter :(
>
> Ich habe zu a) den Ansatz, dass die (dim U=2) U={0;1} ist
> !!! Dann hat ein endlich dimensionaler Vektorraum [mm]2^{n},[/mm]
> hatte mir das mit mehreren beispielen klar gemacht und es
> kommt auch hin ^^
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Bei b) komme ich nicht weiter :( Als Tipp haben wir
> bekommen:
>
> [mm]\lambda v_{1}[/mm] + [mm]\lambda v_{2} \not= v_{3}[/mm] Damit komme ich
> aber nicht weiter :X
Ich auch nicht.
>
> Könnt ihr mir bitte helfen !!! Habe schon andere Studenten
> gefragt, aber keiner konnte mir die frage beantworten, bzw.
> ein fingerzeig geben :(
Wir Basteln uns eine Basis. Dazu wählen wir zuerst einen linear unabhängigen Vektor [mm] $v_1$.
[/mm]
Da gibt es [mm] $2^n-1$ [/mm] Möglichkeiten, da [mm] $v_1$ [/mm] nicht der Nullvektor sein darf.
Dann wählen wir [mm] $v_2$ [/mm] so, dass [mm] $v_2$ [/mm] nicht im von [mm] $v_1$ [/mm] erzeugten Unterraum [mm] $U_1$ [/mm] liegt. Da [mm] $U_1$ [/mm] 2 Elemente besitzt, haben wir [mm] $2^n-2$ [/mm] Möglichkeiten.
Dann wähelen wir [mm] $v_3$ [/mm] so, dass [mm] $v_3$ [/mm] nicht von [mm] $v_1,v_2$ [/mm] erzeugten Unterraum [mm] $U_2$ [/mm] liegt, Da [mm] $U_2$ [/mm] zweidimensional ist enthält [mm] $U_2$ [/mm] ..... etc.
Am Schluss muss du dir noch überlegen, dass es auf die Reihenfolge nicht ankommt, du musst also noch durch $n!$ dividieren.
mfG Moudi
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Danke erstmal !!!
Mir ist jetzt schon einiges klarer !!!
Ab da habe ich aber noch Probleme : Da [mm] U_{1} [/mm] 2 Elemente besitzt, haben wir [mm] 2^{n}-2 [/mm] Möglichkeiten.
Sprich ich weiß noch nicht ganz wie ich mir daraus die Basis basteln soll ... ist [mm] v_{1}= 2^{n}-1 [/mm]
Wäre das so richtig gefolgert ??
sprich komme ich bei [mm] v_{\infty}=2^{n}-\infty
[/mm]
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> Ab da habe ich aber noch Probleme : Da [mm]U_{1}[/mm] 2 Elemente
> besitzt, haben wir [mm]2^{n}-2[/mm] Möglichkeiten.
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> Sprich ich weiß noch nicht ganz wie ich mir daraus die
> Basis basteln soll ... ist [mm]v_{1}= 2^{n}-1[/mm]
Hallo,
es geht nicht darum, wie die vielen, vielen Basen im einzelnen aussehen, sondern darum, wieviele Möglichkeiten es gibt, solch eine Basis des $ [mm] \IF_{2}^{n} [/mm] $ aufzubauen.
Weil der $ [mm] \IF_{2}^{n} [/mm] $ [mm] 2^n [/mm] Elemente enthält, und jedes bis auf den Nullvektor als erstes Basiselement infrage kommt, sind das [mm] 2^n-1 [/mm] Möglichkeiten.
Für den nächsten Basisvektor haben wir weniger Auswahl. Alle, die von unserem v-1 linear abhängig sind, können wir nicht nehmen. Bleiben [mm] 2^n-2 [/mm] zur Auswahl.
Und immer so weiter bis zum letzten Basisvektor. Wieviele Vektoren enthält eigentlich jede Basis des $ [mm] \IF_{2}^{n} [/mm] $ ?
Gruß v. Angela
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> Am Schluss muss du dir noch überlegen, dass es auf die
> Reihenfolge nicht ankommt, du musst also noch durch [mm]n![/mm]
> dividieren.
Hallo,
das stimmt nicht.
Es taucht doch keine einzige Basis mehrfach auf, da der jeweils neue Vektor [mm] v_k [/mm] der "abgefischten" Menge
$ [mm] \IF_{2}^{n} [/mm] $ \ [mm] U_k [/mm] entnommen wird.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 Di 28.11.2006 | | Autor: | moudi |
> > Am Schluss muss du dir noch überlegen, dass es auf die
> > Reihenfolge nicht ankommt, du musst also noch durch [mm]n![/mm]
> > dividieren.
>
> Hallo,
Hallo Angela
>
> das stimmt nicht.
Da bin ich anderer Meinung.
> Es taucht doch keine einzige Basis mehrfach auf, da der
> jeweils neue Vektor [mm]v_k[/mm] der "abgefischten" Menge
> [mm]\IF_{2}^{n}[/mm] \ [mm]U_k[/mm] entnommen wird.
Wenn ich für den ersten Vektor [mm] $2^n-1$ [/mm] Möglichkeiten habe, dann kann das [mm] $v_n$ [/mm] einer "schon gezählten Basis" das [mm] $v_1$ [/mm] einer neu zu zählenden Basis sein. Jede Basis wird so n! viele Mal gezählt.
mfG Moudi
>
> Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:50 Di 28.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
kann es sein, dass ihr darüber diskutiert, ob Basen als geordnet betrachtet werden oder nicht?
Also ihmo sind zwei Basen aus denselben Vektoren aber in unterschiedlicher Reihenfolge durchaus verschieden
(mit anderen Worten : es kommt auf die Reihenfolge an)
oder missverstehe ich euch gerade?
viele Grüße
DaMenge
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:00 Di 28.11.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo DaMenge
Wenn man die Basis als geordnetes Tupel anschaut, hat Angela schon recht, ich habe die Basis als Teilmenge betrachtet, aber die "geordnete Tupel" ansicht ist schon standard, nur schon wegen Basistransformation und so.
Also vergesst das n!
mfG Moudi
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