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| Aufgabe | Sei V der [mm] \IR-Vektorraum [/mm] der beliebig oft differenzierbaren Funktionen von [mm] \IR [/mm] in [mm] \IR. [/mm] Sei [mm] \delta [/mm] : V -> V, f |-> f'. Für jedes f [mm] \in [/mm] V bezeichne [mm] {f}_(\delta) [/mm] den kleinsten [mm] \IR-Teilraum [/mm] von V, der f enthält und [mm] \delta-invariant [/mm] ist.
(a) Man zeige, dass [mm] \delta [/mm] ein [mm] \IR-Endomorphimus [/mm] von V ist und man bestimme eine [mm] \IR-Basis [/mm] von [mm] {f}_(\delta) [/mm] in folgenden Fällen:
(i) f : [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] x |-> [mm] e^{-x}
[/mm]
(ii) f : [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] x |-> [mm] e^{x^2}
[/mm]
(iii) f : [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] x |-> [mm] x^7
[/mm]
(iv) f : [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] x |-> sin x
(v) f : [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] x |-> (sin [mm] x)^2
[/mm]
In den Fällen, in denen [mm] dim_\IR {f}_(\delta) [/mm] eindlich ist, entscheide man, ob [mm] \delta|_({f}_(\delta)) [/mm] nilpotent, diagonalisierbar bzw. triangulierbar ist.
(b) Welche Eigenwerte besitzt [mm] \delta, [/mm] welche [mm] \delta^2 [/mm] (jeweils auf ganz V)?
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Hallo.
Den ersten Teil mit dem Beweis des Endomorphimus habe ich schon fertig. Mein Problem ist das Bestimmen der Basen.
Da ich morgen über dieses Thema eine Klausur schreiben muss, wäre es super wenn mir jemand helfen kann.
Meine Ideen:
(i) [mm] (e^{-x}) [/mm] ist eine Basis
(iii) [mm] (x^7) [/mm] ist eine Basis
Der Rest sagt mir leider nichts.
Ich habe diese Frage in noch keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 So 11.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
> Da ich morgen über dieses Thema eine Klausur schreiben muss, wäre es super wenn mir jemand helfen kann.
Wenn's schnell gehen musst, kannst du dich auch per ICQ 159894030 bei mir melden.
> Meine Ideen:
> (i) $ [mm] (e^{-x}) [/mm] $ ist eine Basis
> (iii) $ [mm] (x^7) [/mm] $ ist eine Basis
Nein, das stimmt beides nicht. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Betrachten wir mal die Funktion [mm] $f:\IR\to\IR$ [/mm] mit [mm] $f(x)=x^7$. [/mm] Da [mm] $\delta(f)$ [/mm] ein [mm] $\delta$-Invarianter [/mm] Unterraum von $V$ sein soll und $f$ enthalten soll, muss er insbesondere [mm] $\delta(f),\delta^2(f),...$, [/mm] d.h. die Abbildungen [mm] $x\mapsto 7x^6, x\mapsto 6x^5,...,x\mapsto [/mm] 1$, d.h. (wegen der Abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation mit Skalaren) die Funktionen [mm] $f_i$ [/mm] mit [mm] $f_i(x)=x^i$ [/mm] für $i=0,1,2,...,7$. Mit diesen Funktionen müssen natürlich auch ihre Linearkombinationen in [mm] $\delta(f)$ [/mm] enthalten sein. Man könnte es daher einmal mit ihrem Erzeugnis [mm] $\langle f_0,f_1,...,f_7\rangle$ [/mm] versuchen, d.h. der Menge aller Linearkombinationen der [mm] $f_0,...,f_7$. [/mm] Diese Menge muss nach obiger Überlegung in jedem $f$ enthaltenden, [mm] $\delta$-invarianten [/mm] Unterraum enthalten sein. Da sie selbst einen Vektorraum bildet, folgt [mm] $\delta(f)=\langle f_0,...,f_7\rangle$. [/mm] So: nun weißt du schonmal per Definitionem, dass [mm] $\{f_0,...,f_7\}$ [/mm] Erzeugendensystem ist. Es bleibt zu zeigen, dass [mm] $\{f_0,...,f_7\}$ [/mm] linear unabhängig ist. Dann genau wäre [mm] $\{f_0,...,f_7\}$ [/mm] bereits eine gesuchte Basis.
Klar, wie der Hase läuft? Bei den übrigen Funktionen geht es ebenso. Schaue dir erstmal ihre ersten Ableitungen an und stelle Vermutungen darüber auf, wie die Menge aller Ableitungen aussehen könnte.
Wenn du nun schon soweit bist und die Unterräume [mm] $f(\delta)$ [/mm] endlichdimensional sind, wie beispielsweise bei obiger Funktion, dann drücke jeweils die Bilder der Basisvektoren unter [mm] $\delta$ [/mm] wieder als Linearkombation der Basisvektoren aus und schreibe die Koeffizienten in eine Matrix - dies ist nichts weiter als das übliche Verfahren zur Bestimmung von Darstellungsmatrizen linearer Abbildungen. In obigem Beispiel wäre es bzgl. [mm] $\{f_0,...,f_7\}$ [/mm] die Matrix [mm] $\pmat{0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0}$
[/mm]
Nun noch zur Diagonalisier- und Triangulierbarkeit. Dort gibt es zwei wichtige Kriterien:
Eine Matrix ist genau dann triangulierbar, wenn ihr charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt.
Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn ihr charakteristisches Polyonom in Linearfaktoren zerfällt und die Summe der Dimensionen der Eigenräume der Dimension des zu Grunde liegenden Raumes entspricht.
Bleiben wir beim Beispiel von eben: wir sehen schon an der Darstellungsmatrix bzgl. [mm] $\{f_0,...,f_7\}$ [/mm] selbst, dass [mm] $\delta$ [/mm] triangulierbar ist. Dennoch sehen wir es auch mit dem eben genannten Kriterium ein. Es ist
[mm] $\chi_\delta(x)=\det\pmat{-x & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -x & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -x & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -x & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -x & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -x & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -x & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -x}=x^8$ [/mm] (warum?). Mit Hilfe des Kriteriums folgt die Triangulierbarkeit. Weiterhin sehen wir mit Cayley-Hamilton ein, dass [mm] $\delta^8=\chi_\delta(\delta)=0$ [/mm] gilt, d.h. [mm] $\delta$ [/mm] nilpotent ist.
Zur Prüfung der Diagonalisierbarkeit musst du nun schauen, ob die Summe der Dimensionen der Eigenräume = 8 ist. Da 0 der einzige Eigenwert ist, reicht es, den Eigenraum zum Eigenwert 0 zu betrachten. Dieser ist recht einfach zu bestimmen.
So, ich hoffe ich konnte dir durch diese exemplarische Untersuchung weiterhelfen.
Viel Glück und Erfolg morgen!
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo Hanno,
vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Doch leider sind mir eine Schritte nich nicht so ganz klar.
Zum einen geht es um die lineare Unabhängigkeit von [mm] {f_0, ..., f_7}. [/mm] Nach meiner Rechnung sind die alle linear Abhängig. Da es nicht triviale Lösungen für die Gleichungssysteme gibt. Somit ist die Basis nur [mm] {(x^7)}, [/mm] da sonst alle voneinander abhängig sind.
Zum anderen geht es um die Darstellungsmatrix. So ganz verstehe ich das nicht. Wie du diese aufbaust. Warum die Elemente von 1 bis 6 laufen und das ganze um eine Position verschoben von der Hauptdiagonalen.
Wäre super, wenn du dich mal bei mir melden könntest und mir die Fragen beantworten kannst.
Vielen Dank!
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Die sind sicher linear unabhängig. Denn eine Beziehung der Art
[mm]\lambda_0 + \lambda_1 x + \lambda_2 x^2 + \lambda_3 x^3 + \lambda_4 x^4 + \lambda_5 x^5 + \lambda_6 x^6 + \lambda_7 x^7 = 0 \ \ \mbox{für alle} \ x \in \mathbb{R}[/mm]
kann nur gelten, falls [mm]\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = \lambda_4 = \lambda_5 = \lambda_6 = \lambda_7 = 0[/mm]. Das ist aus der Analysis bekannt: Ein Polynom vom Grade [mm]n \geq 1[/mm] strebt für [mm]x \to \infty[/mm] gegen [mm]\pm \infty[/mm], kann also nicht das Nullpolynom sein. Natürlich kann man so etwas auch rein algebraisch zeigen; das läuft dann auf die Vandermondesche Determinante hinaus.
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Okay. Doch das macht Sinn.
Nun aber die Frage, wie bilde ich die Darstellungsmatrix und wieso ist mein Idee zu (i) falsch.
Wäre super, wenn dazu noch mal jemand Stellung beziehen könnte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 So 11.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Christine.
Deine Idee zu (i) ist richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") . Es gilt [mm] $\delta^n(f)(x)=(-1)^n e^{-x}$, [/mm] und daher ist der gesuchte Unterraum genau [mm] $\langle f\rangle=\langle e^{-x}\rangle$.
[/mm]
Zu der Darstellungsmatrix:
Der Eintrag an Position (i,j), d.h. in der i-ten Zeile und j-ten Spalte entspricht genau dem Koeffizienten des j-ten Basiselementes in der Linearkombination des Bildes des i-ten Basiselementes. Beispiel: es ist [mm] $\delta(f_5)(x)=5x^4$, [/mm] d.h. [mm] $\delta(f_5)=5f_4$. [/mm] Damit ist [mm] $a_{i6}=0$ [/mm] für [mm] $i\neq [/mm] 5$ und [mm] $a_{56}=5$ [/mm] (man bedenke, dass [mm] $f_5$ [/mm] das "6. Element" der Basis ist, da wir bei [mm] $f_0$ [/mm] beginnen). Analog erhältst du die anderen Einträge der Matrix.
Klar?
Liebe Grüße,
Hanno
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Bei (ii) solltest du es einmal mit den Funktionen
[mm]f_n: \ x \mapsto x^n \operatorname{e}^{x^2} \ \ (0 \leq n \in \mathbb{Z})[/mm]
versuchen: [mm]f_{(\delta)} = \left\langle f_n \left| \, n \geq 0 \right. \right\rangle[/mm] .
Auf die kommt man, ganz, wie Hanno es vorgemacht hat, durch fortwährendes Ableiten.
Und bei (v) gibt es eine dreielementige Basis. Beachte die trigonometrische Beziehung
[mm]\sin^2{x} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos{(2x)}[/mm]
und arbeite beim Differenzieren mit der rechten statt der linken Seite.
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| Aufgabe | | (c) Sei K:= [mm] \{T | T\ Teilraum\ von\ V,\ \exists i \in \IN_0 \ \ T = Kern \delta^i \}. [/mm] Man zeige, dass K eine unendliche Kette in Pot(V) ist. Was ist [mm] \bigcup_{}^{} [/mm] K? |
Leider komme ich bei dieser Aufgabe überhaupt keine Idee und hoffe, dass mir jemand einen kleinen Startschuss geben kann.
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Das ist etwas merkwürdig geschrieben. Letztlich geht es um Menge
[mm]\left\{ \, \operatorname{Kern} \left( \delta^k \right) \, \left| \ k \geq 0 \, \right. \right\}[/mm]
Was heißt denn [mm]\delta[/mm]? Doch nichts anderes als "differenziere". Und [mm]\delta^2 = \delta \circ \delta[/mm]? Nichts anderes als "differenziere und differenziere noch einmal", also "differenziere zweimal". Und so geht das weiter: [mm]\delta^k[/mm] heißt "differenziere [mm]k[/mm]-mal". Und das Ganze beginnt mit [mm]\delta^0[/mm] = Identität auf [mm]V[/mm].
Der Kern von [mm]\delta^k[/mm] besteht aus den Funktionen, die beim [mm]k[/mm]-maligen Ableiten [mm]0[/mm], also die Nullfunktion, ergeben. So ist [mm]\operatorname{Kern} \left( \delta^0 \right) = \{ 0 \}[/mm], denn die Identität bildet offenbar nur [mm]0[/mm] auf [mm]0[/mm] ab. Und [mm]\operatorname{Kern} \left( \delta^1 \right) = \operatorname{Kern} \left( \delta \right) = \left\{ \, \text{konstante Funktionen} \, \right\}[/mm]. Denn es sind gerade die konstanten Funktionen, die beim Ableiten [mm]0[/mm] ergeben. Und welche Funktionen sind es, die als zweite Ableitung [mm]0[/mm] haben? Einerseits die konstanten, aber nicht nur die. Es gilt daher:
[mm]\operatorname{Kern} \left( \delta^0 \right) \subset \operatorname{Kern} \left( \delta^1 \right) \subset \operatorname{Kern} \left( \delta^2 \right)[/mm]
Das ist schon der Anfang der Kette. Und wie geht das weiter? Welche Funktionen machen [mm]\operatorname{Kern} \left( \delta^k \right)[/mm] aus? Was ist schließlich [mm]\bigcup_{k=0}^{\infty}~\operatorname{Kern} \left( \delta^k \right)[/mm] ?
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Hallo.
Vielen Dank für deine Antwort. Also ich denke, dass [mm] \bigcup_{i=1}^{n} [/mm] Kern [mm] (\delta^k), [/mm] dann ganz V ergibt, da sie ja eine Kette aufbauen.
Oder sehe ich das falsch???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 Mo 12.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
Das stimmt so nicht. Die Menge [mm] $\bigcup_{k\in \IN} Kern(\delta^k)$ [/mm] enthält genau die Funktionen, die nach endlich-facher Differentiation die Nullfunktion werden. Entspricht das dem gesamten Raum $V$?
Liebe Grüße,
Hanno
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Hi.
Kann sich nochmal jemand zu dem Teil (b) der Aufgabe äussern. Muss ich dort wieder für jeden bestimmten Fall ((i), ..., (v)) die Eigenwerte bestimmen?
Kann ich das denn auch wenn ich eine nicht endliche Dimension habe. Und wiemache ich das überhaupt? Wäre super, wenn sich jemand melden kann.
Vielen Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 13.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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