Basen für Gleichung finden < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:06 Di 24.10.2006 | | Autor: | janstoecklin |
| Aufgabe | Für welche (möglichst kleinen) Basen gilt folgende Gleichung
101000 = 270 = 1130
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Also mit kommen da zwei Ansätze in den Kopf:
1.
Die Basis von 101000 ist mind. 2
Die Basis von 270 ist mind. 8
Die Basis von 1130 mind. 4
2. Aufstellung eines Gleichungssystems
101000: [mm] 1*x^{3} [/mm] + [mm] 1*x^{5} [/mm] = z
270: [mm] 7*x^{1} [/mm] + [mm] 2*x^{2} [/mm] = z
1130: [mm] 3*x^{1} [/mm] + [mm] 1*x^{2} [/mm] + [mm] 1*x^{3} [/mm] = z
Nur wie könnte das weitergehen? Oder geht man das prinzipiell anderst an?
Und, sagen wir ich möchte selbst so eine Aufgabe generieren, könnte es sein, dass dabei etwas unlösbares rauskommmt?
Für Tipps und Anregungen wäre ich sehr dankbar!
Grüße Jan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Für welche (möglichst kleinen) Basen gilt folgende
> Gleichung
> 101000 = 270 = 1130
> 2. Aufstellung eines Gleichungssystems
> 101000: [mm]1*x^{3}[/mm] + [mm]1*x^{5}[/mm] = z
> 270: [mm]7*x^{1}[/mm] + [mm]2*x^{2}[/mm] = z
> 1130: [mm]3*x^{1}[/mm] + [mm]1*x^{2}[/mm] + [mm]1*x^{3}[/mm] = z
Hallo,
es ist doch gemeint, daß man ein und dieselbe Zahl in drei verschiedenen Basen a,b,c darstellt.
Gesucht sind also a,b,c [mm] \in \IN [/mm] mit
[mm] a^5+a^3=2b^2+7b=c^3+c^2+3c
[/mm]
<==> [mm] a^3(a^2+1)=b(2b+7)=c(x^2+c+3)
[/mm]
Ich würde jetzt systematisch probieren:
a=2 dann ist [mm] ^3(a^2+1)=8*5 [/mm] b=2? ==> (2b+7)=11 geht nicht.
b=4? ==> (2b+7)=13 geht nicht.
b=5? ==> (2b+7)=17 geht nicht.
a=3 dann ist [mm] ^3(a^2+1)=270 [/mm] b=2? ==> b(2b+7)=22 geht nicht usw.
So kommst Du zum Ziel.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:08 Di 24.10.2006 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Jan!
> Für welche (möglichst kleinen) Basen gilt folgende
> Gleichung
> 101000 = 270 = 1130
>
> Also mit kommen da zwei Ansätze in den Kopf:
>
> 1.
> Die Basis von 101000 ist mind. 2
> Die Basis von 270 ist mind. 8
> Die Basis von 1130 mind. 4
Wenn du Angelas Ratschlag folgst und 101000 für ein paar kleine Basen ins Zehnersystem umwandelst, könnte dir schon etwas auffallen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Ok, ja mir fällt auf dass 101000 zur Basis 3 das gleiche ist wie 270 (10). Den Rest kann man damit sicher auf auflösen, aber mir ist der allgemeine Lösungsweg nicht klar.
Ich meine man kann ein LGS aufstellen, aber dann hat man ein LGS höherer Ordnung. Ich weiß nicht wie man und ob das auch immer eindutig lösbar ist, bzw. ob es z.B. auch unlösbare LGS gibt (für so ein Basenrätsel).
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:41 Mi 25.10.2006 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Jan!
Was dir aufgefallen ist, war mir auch aufgefallen!
Zur Klärung: LGS bedeutet ein lineares Gleichungssystem, und die hast du hier ja gerade nicht. Die Lösungen von LGS überblickt man komplett.
Daß Gleichungen und Gleichungssysteme nicht immer eine Lösung haben, hast du mit Sicherheit schon gelernt, da brauchst du nur an quadratische Gleichungen zu denken.
Deine Aufgabe führt auf den ersten Blick in das weite und außerordentlich schwierige Gebiet der diophantischen Gleichungen, da gibt es keine allgemeinen Rezepte, sondern bei den höheren Potenzen immer nur Sonderfälle, die irgendwann mal irgendwer angefaßt hat.
Was ist in dieser Situation z. B. mit den beiden Darstellungen 100 und 101? (einfach)
Oder 1000 = 102 (schwierig, Lösung wohl von Euler)
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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> Zur Klärung: LGS bedeutet ein lineares Gleichungssystem,
> und die hast du hier ja gerade nicht. Die Lösungen von LGS
> überblickt man komplett.
>
> Daß Gleichungen und Gleichungssysteme nicht immer eine
> Lösung haben, hast du mit Sicherheit schon gelernt, da
> brauchst du nur an quadratische Gleichungen zu denken.
Noch eine andere Sache:
Eine Lösung, die man durch "intelligentes Raten" gefunden hat, ist nicht einen Deut weniger Wert als eine Lösung durch langwierige Rechnungen!!!
Nehmen wir kubische Gleichungen. Da gibt's immer eine Lösung - nur die exakte Lösung rechnerisch zu finden ist u.U. recht langwierig. Guck' Dir mal die Lösungsformel von Cardano an... Oft ist man mit gezieltem Raten schneller - ganz besonders, wenn es ganzzahlige Koeffizienten sind, und die Autoren der Übungsaufgabe erstens freundlich sind und zweitens rechnen können.
Für algebraische Gleichungen ab dem Grad 5 gibt es dann gar keine geschlossenen Lösungsformeln mehr, also kein einfaches Kochrezept zur Lösung.
Gruß v. Angela
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Ok,
Also zu 100(zur Basis x) = 101 (zur Basis y):
Lässt sich als [mm] x^{2} [/mm] = [mm] y^{2}+1 [/mm] schreiben und reduziert sich damit auf die Frage wie groß der Abstand zweier Quadrahtzahlen ist, bzw. ob es zwei Quadratzahlen gibt, deren Abstand nur 1 beträgt. Wenn man die Formel für den Abstand zweier aufeinanderfolgenden Quadrahtzahlen (Ich weiß noch nicht wie man das herleitet) als gegeben und wahr annimt (Abstand von [mm] n^{2} [/mm] und [mm] (n+1)^{2} [/mm] beträgt 2n+1) so folgt daraus, dass obiges beispiel nicht lösbar ist (0 ist keine Basis).
Implizit angenommen wurde dabei auch, dass wenn zwei aufeinanderfolgenden QZ einen Abstand größer 1 haben, es sicher auch keine anderen QZ gibt, die die bed. erfüllen. Das scheint intuitiv richtig, wenn man alles formal und korrekt machen wollte, so müsste man dies glaube ich noch explizit zeigen.
Daher danke für dieses schöne unlösbare Beispiel ;).
Und natürlich ist eine geratene Lösung nicht schlechter als eine errechnete, nur ist es halt unbefriedigend, wenn man nicht weiß ob es neben dem Raten noch einen besseren, (sicheren?) Weg gibt.
Mit Verweis auf die diophantischen Gleichungen scheint es diesen vielleicht zu geben, aber auf jeden Fall ist er weit über dem Niveau von 1.Semerster-Übungen anzusiedeln.
Das heißt hier und für mich, raten ist hier der einzige zweckmäßige Lösungsweg ;).
Daher vielen Dank dafür, dass ich etwas Licht ins Dunkle gebracht habt ;)!
Grüße Jan
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