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Basen eines R-Moduls: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:01 Mi 30.07.2014
Autor: Topologe

Aufgabe
Es sei R ein nicht trivialer kommutativer Ring und M ein endlich erzeugter freier R-Modul. Dann haben je zwei Basen von M über R die gleiche Anzahl von Elementen.

Hi,
gibt es denn eigentlich auch eine Art Standardbeispiel für ein R-Modul M, der unterschiedlich grosse Basen besitzt?

LG

        
Bezug
Basen eines R-Moduls: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:54 Mi 30.07.2014
Autor: Berieux

Hallo!

Es ist nicht ganz klar, was du genau wissen willst.
Von Basen spricht man eigentlich nur bei freien Moduln. Ist R ein kommutativer Ring, und M ein freier Modul so haben zwei Basen von M immer dieselbe Kardinalität (egal ob M endlich erzeugt ist oder nicht).

Bei nicht-kommutativen Ringen gibt es Beispiele, für die [mm]R^{n}\cong R^{m}[/mm] mit [mm]n\neq m[/mm] gilt. Ein konkretes Beispiel hab ich nicht parat.

Falls du einen nicht-freien Modul über einem kommutativen Ring suchst der zwei unterschiedlich große Erzeugendensysteme hat, die sich nicht verkleinern lassen:

[mm]\mathbb{Z}_{6}[/mm] wird als [mm]\mathbb{Z}-Modul[/mm] von [mm]\{1\}[/mm] und von [mm]\{2, 3\}[/mm] erzeugt.

Viele Grüße,
Berieux

Bezug
                
Bezug
Basen eines R-Moduls: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:57 Mi 30.07.2014
Autor: MaslanyFanclub

Hallo,

> Hallo!

> Bei nicht-kommutativen Ringen gibt es Beispiele, für die
> [mm]R^{n}\cong R^{m}[/mm] mit [mm]n\neq m[/mm] gilt. Ein konkretes Beispiel
> hab ich nicht parat.

Hier gibt's eins :
https://en.wikipedia.org/wiki/Invariant_basis_number


Bezug
                        
Bezug
Basen eines R-Moduls: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:08 Do 31.07.2014
Autor: Topologe

Super, danke!

Bezug
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