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| Aufgabe | [mm] A=\pmat{ 4 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 }
[/mm]
a) Bestimmen Sie alle Eigenwerte von A.
b) Bestimmen Sie für jeden Eigenraum eine Basis. |
Hallo Leute! Ich habe mal wieder ein Problem bei einer Aufgabe, die wahrscheinlich extrem simpel zu lösen ist, aber nicht drauf komme.
Die Matrix A
[mm] A=\pmat{ 4 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 }
[/mm]
besitzt die EW (Eigenwerte) [mm] \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2 [/mm] und [mm] \lambda_{3}=3
[/mm]
zu dem EW [mm] \lambda_{1}=1 [/mm] gehört der EV (Eigenvektor)
[mm] x_{1}=\vektor{0 \\ \lambda \\ 0}
[/mm]
zu dem EW [mm] \lambda_{2}=2 [/mm] gehört der EV
[mm] x_{2}=\vektor{-\bruch{1}{2}\lambda \\ \lambda \\ \lambda}
[/mm]
zu dem EW [mm] \lambda_{3}=3 [/mm] gehört der EV
[mm] x_{2}=\vektor{-\lambda \\ \lambda \\ \lambda}
[/mm]
=> Zu dem EW [mm] \lambda_{1}=1 [/mm] gehört der Eigenraum
[mm] E_{A}(1)=\begin{cases} \lambda * \vektor{0 \\ 1 \\ 0} \in \IR^{3}| \lambda \in \IR \end{cases} [/mm]
Zu dem EW [mm] \lambda_{2}=2 [/mm] gehört der Eigenraum
[mm] E_{A}(2)=\begin{cases} \lambda * \vektor{-\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 1} \in \IR^{3}| \lambda \in \IR \end{cases} [/mm]
Zu dem EW [mm] \lambda_{3}=3 [/mm] gehört der Eigenraum
[mm] E_{A}(3)=\begin{cases} \lambda * \vektor{-1 \\ 1 \\ 1} \in \IR^{3}| \lambda \in \IR \end{cases} [/mm]
Wie bestimme ich nun für jeden Eigenraum eine Basis?
Wäre eine Basis zu [mm] E_{A}(2) ((\vektor{-\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 1},\vektor{0 \\ 1 \\ 0}\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}))
[/mm]
LG Johnny
PS: Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus!
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> [mm]A=\pmat{ 4 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 }[/mm]
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> a) Bestimmen Sie alle Eigenwerte von A.
> b) Bestimmen Sie für jeden Eigenraum eine Basis.
>
> Hallo Leute! Ich habe mal wieder ein Problem bei einer
> Aufgabe, die wahrscheinlich extrem simpel zu lösen ist,
> aber nicht drauf komme.
>
> Die Matrix A
>
> [mm]A=\pmat{ 4 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 }[/mm]
>
> besitzt die EW (Eigenwerte) [mm]\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2[/mm]
> und [mm]\lambda_{3}=3[/mm]
Hallo,
hab' ich nicht nachgerechnet, glaub' ich einfach mal.
>
> zu dem EW [mm]\lambda_{1}=1[/mm] gehört der EV (Eigenvektor)
Du meinst:
die Eigenvektoren zum Eigenwert [mm] \lambda_1=1 [/mm] sind von der Gestalt
> [mm]x_{1}=\vektor{0 \\ \lambda \\ 0}[/mm][mm] =\lambda\vektor{0\\1\\0}
[/mm]
mit [mm] \lambda\in \IR\setminus\{0\}.
[/mm]
Der zu [mm] \lambda_1 [/mm] gehörende Eigenraum ist
[mm] Eig_1(A)=\{\lambda*\vektor{0\\1\\0}\in\IR^3| \lambda\in \IR\}.
[/mm]
Eine Basis dieses Eigenraumes ist [mm] \vektor{0\\1\\0}.
[/mm]
LG Angela
>
> zu dem EW [mm]\lambda_{2}=2[/mm] gehört der EV
>
> [mm]x_{2}=\vektor{-\bruch{1}{2}\lambda \\ \lambda \\ \lambda}[/mm]
>
> zu dem EW [mm]\lambda_{3}=3[/mm] gehört der EV
>
> [mm]x_{2}=\vektor{-\lambda \\ \lambda \\ \lambda}[/mm]
>
> => Zu dem EW [mm]\lambda_{1}=1[/mm] gehört der Eigenraum
>
> [mm]E_{A}(1)=\begin{cases} \lambda * \vektor{0 \\ 1 \\ 0} \in \IR^{3}| \lambda \in \IR \end{cases}[/mm]
>
> Zu dem EW [mm]\lambda_{2}=2[/mm] gehört der Eigenraum
>
> [mm]E_{A}(2)=\begin{cases} \lambda * \vektor{-\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 1} \in \IR^{3}| \lambda \in \IR \end{cases}[/mm]
>
> Zu dem EW [mm]\lambda_{3}=3[/mm] gehört der Eigenraum
>
> [mm]E_{A}(3)=\begin{cases} \lambda * \vektor{-1 \\ 1 \\ 1} \in \IR^{3}| \lambda \in \IR \end{cases}[/mm]
>
> Wie bestimme ich nun für jeden Eigenraum eine Basis?
>
> LG Johnny
>
> PS: Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus!
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> Eine Basis dieses Eigenraumes ist [mm]\vektor{0\\1\\0}.[/mm]
Wäre das nicht ein Vektorraum? Muss eine Basis hier nicht aus mindestens 3 Vektoren bestehen?
Habe eine Hommage gefunden, die meine Frage (glaube ich) geklärt hat.
http://www.abi-mathe.de/buch/matrizen/eigenwert-und-eigenraum/
LG Johnny und vielen Dank für die Hilfe!
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> > Eine Basis dieses Eigenraumes ist [mm]\vektor{0\\1\\0}.[/mm]
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> Wäre das nicht ein Vektorraum? Muss eine Basis hier nicht
> aus mindestens 3 Vektoren bestehen?
Hallo,
Du hast doch herausgefunden, daß in dem Eigenraum (welcher in der Tat ein VR ist, nämlich ein Unterraum des [mm] \IR^3) [/mm] alle Vektoren der Gestalt [mm] \lambda\vektor{0\1\\0} [/mm] sind.
Was ist eine Basis? Ein minimales Erzeugendensystem.
[mm] \vektor{0\1\\0} [/mm] erzeugt den Eigenraum - und noch kleiner geht's nicht.
Also: Basis.
LG Angela
>
> Habe eine Hommage gefunden, die meine Frage (glaube ich)
> geklärt hat.
>
> http://www.abi-mathe.de/buch/matrizen/eigenwert-und-eigenraum/
>
> LG Johnny und vielen Dank für die Hilfe!
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