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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:54 So 29.05.2005 | | Autor: | Adele |
Guten Morgen!
Ich sitze gerade an meinem Lineare Algebra II Übungsblatt und weiß bei einer Aufgabe absulot nicht, wie ich anfangen/vorgehen muss. Wäre super, wenn mir jemand dabei etwas helfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Die Aufgabe lautet:
Sei V = [mm] \IR² [/mm] und [mm] \emptyset [/mm] : V [mm] \to [/mm] V die lineare Abbildung [mm] \emptyset(x,y) [/mm] = (2x+y,2y).
1. Finde Basen B und C, so daß [mm] M_{B,C}( \emptyset) [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }.
[/mm]
2. Zeige, daß es keine Basis B von V gibt mit [mm] M_{B,B}( \emptyset) [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }.
[/mm]
Ich wäre wirkich sehr dankbar für ein paar Hilfestellungen.
Liebe Grüße,
Adele
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Hallo!
Zu 1)
Also angenommen, du hast zwei Basen $B$ und $C$ in Matrix-Form vorliegen. Also z.B. [mm] $B=(b_1|b_2)$ [/mm] mit [mm] $\{b_1,b_2\}$ [/mm] Basis von [mm] $\IR^2$.
[/mm]
Dann soll [mm] $B^{-1}\theta C=\pmat{1&0\\0&1}$?
[/mm]
Du kannst [mm] $\theta$ [/mm] umschreiben in die Form [mm] $\theta=\pmat{2&1\\0&2}$.
[/mm]
Jetzt wähle z.B. für $C$ die kanonische Basis - also [mm] $C=\pmat{1&0\\0&1}$. [/mm] Und für $B$ wähle die Basis [mm] $\left\{\vektor{2\\0};\vektor{1\\2}\right\}$. [/mm] Weil diese beiden Vektoren linear unabhängig sind, ist das eine Basis. Und weil so [mm] $B=\theta$, [/mm] ist [mm] $B^{-1}\theta C=\theta^{-1}\theta=\pmat{1&0\\0&1}$.
[/mm]
Zu 2)
Führe hier einen Beweis durch Widerspruch! Angenommen, es gäbe eine Basis, so dass [mm] $B^{-1}\theta B=\pmat{1&0\\0&1}$. [/mm] Dann wäre [mm] $\theta=B\pmat{1&0\\0&1}B^{-1}$...
[/mm]
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:24 So 29.05.2005 | | Autor: | Adele |
Danke für die schnelle Antwort, ich werde gleich mal gucken wie weit ich damit komme :)
Wenn ich noch fragen dazu hab, dann meld ich mich noch mal, oki?
Liebe Grüße,
Adele
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