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| Aufgabe | Hallo
Sei auf [mm] \IR^4
[/mm]
[mm] \nu((x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}),(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}))=x_{1}*y_{1}+x_{2}*y_{2}+x_{3}*y_{3}-x_{4}*y_{4}
[/mm]
Sei [mm] u_{1}=(0,0,1,1), u_{2}=(1,-1,0,1),u_{3}=(2,0,1,0).Setze U_{1}:=\IR*u_{1} [/mm] und [mm] U_{2}:=\IR*u_{2}+\IR*u_{3}
[/mm]
a)Bestimmen Sie die Matrix von [mm] \nu|U_{j} [/mm] bzgl. der Basen { [mm] u_{1} [/mm] } bzw. { [mm] u_{2},u_{3} [/mm] } (j=1,2)
b)Geben sie Basen von [mm] U_{j}^{\perp} [/mm] an (j=1,2) |
Hallo Forum!
Habe versucht die Basen zu berechnen aber ich verstehe nicht ganz was mit den [mm] U_{1},U_{2} [/mm] gemeint sein soll,sind das Unterräume?
Wenn das nicht da wäre,würde ich einfach durch Koordinatendarstellung die einzelnen Vektoren einsetzen.Danke im voraus!
Mfg
Martin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:41 Fr 13.06.2008 | | Autor: | fred97 |
U1 ist der von u1 aufgespannte Unterraum
U2 ist der von u2 und u3 aufgespannte Unterraum
FRED
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Hallo Fred!
Danke für die Antwort aber viel weiter gebracht,hat mich sie nicht,da ich das mit den Unterräumen ja schon vermutet habe aber ich weiß nicht wie ich vorgehen soll.
Mfg
Martin
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> Danke für die Antwort aber viel weiter gebracht,hat mich
> sie nicht,da ich das mit den Unterräumen ja schon vermutet
> habe aber ich weiß nicht wie ich vorgehen soll.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wie hilfreich die gegebenen Antworten sind, hängt oft ganz stark mit der Güte der gestellten Fragen zusammen.
Nicht völlig grundlos erwarten wir ltForenregeln von Dir eigene Lösungsansätze oder konkrete Fragen.
Beim Durchlesen Deiner Frage wird mir nicht klar, woran es bei Dir hängt:
macht es Dir lediglich ein Problem, daß nun die Einschränkungen der Abbildung [mm] \nu [/mm] auf die Unterräume betrachtet werden sollen,
oder weißt Du überhaupt nicht, wie Du zur Matrix einer Bilinearform bzgl irgendeiner vorgegebenen Basis kommst?
Wandeln wir die Aufgabe also mal etwas ab:
1. Gib die Matrix von [mm] \nu [/mm] bzgl der Standardbasis des [mm] \IR^4 [/mm] an.
2. Gib die Matrix von [mm] \nu [/mm] bzgl der Basis [mm] (u_{1}=(0,0,1,1), u_{2}=(1,-1,0,1),u_{3}=(2,0,1,0), u_4=(0,0,0,1)) [/mm] des [mm] \IR^4 [/mm] an.
Kannst Du das?
Bevor man dann weitermacht, muß man wissen, was mit $ [mm] \nu|U_{j} [/mm] $ gemeint ist.
Wie habt Ihr die Einschränkung auf einen Unterraum definiert?
[mm] \nu|U_{1}: U_{1} [/mm] x [mm] U_{1} [/mm] --> [mm] \IR
[/mm]
mit [mm] \nu|U_{1}(ru_1, su_1)= [/mm] ???
Ich hoffe, daß Du hiermit ein Stückchen weiterkommst, ggf. auch zum Nachlesen angeregt wirst.
Falls die Sache nochmal ins Stocken gerät, bitte ich Dich, die Fage so zu zu stellen, daß man eine Chance bekommt zu erfahren, was Du (nicht) kannst.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
Vielen Dank für die Antwort.Ich hätte mich präziser ausdrücken sollen.Deine beiden ersten Fragen kann ich beantworten,bei der 1. ist es die Einheitsmatrix und bei der 2.Frage, einfach durch einsetzen.Also die 1.Zeile der Matrix wäre dann: (0 -1 1 -1),das gleiche Vorgehen für die Nächsten.
Was mit [mm] \nu|U_{j} [/mm] gemeint ist,kann ich dir leider nicht sagen,in meinen Unterlagen habe ich es nicht gefunden.
Mfg
Martin
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> bei der 1. ist es die Einheitsmatrix
Hallo,
es ist fast die Einheitsmatrix, rechts unten steht aber -1.
> und bei
> der 2.Frage, einfach durch einsetzen.Also die 1.Zeile der
> Matrix wäre dann: (0 -1 1 -1),das gleiche Vorgehen für die
> Nächsten.
Ja, Du scheinst hier wirklich bescheid zu wissen.
> Was mit [mm]\nu|U_{j}[/mm] gemeint ist,kann ich dir leider nicht
> sagen,in meinen Unterlagen habe ich es nicht gefunden.
Hier wird nun die Bilinearform eingeschränkt auf den Unterraum [mm] U_1.
[/mm]
D.h. für [mm] x,y\in U_1 [/mm] ist [mm] \nu|_{U_1}(x,y)=\nu(x,y). [/mm]
Für [mm] U_2 [/mm] dann entsprechend.
In [mm] U_1 [/mm] sind die Elemente, die Vielfache von [mm] u_1 [/mm] sind.
Nun gucken wir, was herauskommt, wenn wir zwei von denen multiplizieren:
[mm] \nu|_{U_1}(ru_1, su_1)= \nu(ru_1, su_1)=rs\nu(u_1, u_1)=rs*0=0
[/mm]
Die Matrix bzgl. der Basis [mm] (u_1) [/mm] ist recht klein, es ist ja eine 1x1_Matrix, und ihr Eintrag ist 0,
also ist die darstellende Matrix von [mm] \nu|_{U_1} [/mm] bzgl der Basis [mm] (u_1) [/mm] die Matrix (0).
Da Du das mit dem Aufstellen der Matrix ja eigentlich verstanden hast, versuche Dich jetzt mal an der Einschränkung auf [mm] U_2.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
Vielen Dank.Ich habe das gleiche für [mm] U_{2} [/mm] versucht,wobei ich mir nicht sicher bin ob das so stimmt.
[mm] \nu|U_{2}((r*u_{2},s*u_{2})+(r*u_{3},s*u_{3}))=r*s*1+r*s*5.
[/mm]
Mfg
Martin
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> Hallo Angela,
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> Vielen Dank.Ich habe das gleiche für [mm]U_{2}[/mm] versucht,wobei
> ich mir nicht sicher bin ob das so stimmt.
>
> [mm]\nu|U_{2}((r*u_{2},s*u_{2})+(r*u_{3},s*u_{3}))=r*s*1+r*s*5.[/mm]
Hallo,
die Elmente aus [mm] U_2 [/mm] haben ja die Gestalt [mm] ru_2+su_3.
[/mm]
Es ist
[mm] \nu|U_{2}(ru_2+su_3, r'u_2+s'u_3) [/mm] [zwei Elemente aus [mm] U_2]
[/mm]
[mm] =\nu(ru_2+su_3, r'u_2+s'u_3)= [/mm] ... [das [mm] \nu [/mm] ist ja eine Bilinearform, das kannst Du hier ausnutzen]
Um die Matrix bzgl [mm] (u_2, u_3) [/mm] auszurechnen, brauchst Du das da oben aber eigentlich gar nicht. Du hast vorhin gezeigt, daß Du weißt, wie das geht:
die Matrix von [mm] \nu|U_{2} [/mm] bzgl [mm] (u_2, u_3) [/mm] ist [mm] \pmat{ \nu(u_2,u_2) & \nu(u_2,u_3) \\ \nu(u_3,u_2) & \nu(u_3,u_3) }.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
Ja stimmt,ist mir dann auch aufgefallen,dass das so gehen müsste.Zu der b) Basis zu [mm] U_{1}^{\perp} [/mm] : [mm] \nu((\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 1},\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 1})=0 [/mm] ,wobei hier die Vektoren nicht linear unabhängig sind. Zu [mm] U_{2}^{\perp} [/mm] : [mm] \nu(\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 1})=0, [/mm] wobei man hier mehrere Basen finden könnte.
Habe ich etwas übersehen?
Mfg
Martin
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> Habe ich etwas übersehen?
Hallo,
mir ist nicht so recht klar, was Du hier tust.
Wie ist denn zu einem vorgegebenen Raum U der Raum [mm] U^{\perp} [/mm] definiert?
Das dürfte ja die Menge aller [mm] x\in \IR^4 [/mm] sein, für welche [mm] \nu(x,u) [/mm] für alle [mm] u\in [/mm] U gilt.
Oder ist das bei Euch anders?
[mm] U_1^{\perp} [/mm] enthält also alle Elemente [mm] x\in \IR^4 [/mm] mit [mm] \nu(x,ru_1)=0 [/mm] für alle r <==> [mm] \nu(x,u_1)=0.
[/mm]
Gruß v. Angela
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