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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Mi 03.01.2007 | | Autor: | diego |
| Aufgabe | Sei [mm] V=M_{22} (\IR). [/mm] Sei f: V [mm] \to [/mm] V definiert durch f(A) = [mm] A^{T} [/mm] - A für alle A [mm] \in [/mm] V.
1. Beweisen Sie, dass f linear ist.
2. Bestimmen Sie Basen von Kern(f), Bild (f) und V/Bild(f). |
Hallo,
Nummer eins war kein Problem, dafür zwei um so mehr...
Mein Ansatz für Kern(f) war: f(A) = [mm] \pmat{ a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} } [/mm] - [mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }
[/mm]
Damit f(A) im Kern liegt, muss f(A) = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] sein.
Dann hätte ich das LGS
[mm] a_{21} [/mm] - [mm] a_{12} [/mm] =0
[mm] a_{12} [/mm] - [mm] a_{21} [/mm] =0
Aber was genau hab ich davon?
Bei den anderen Beiden habe ich leider noch keine Idee.
Danke für eure Hilfe!!!
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt
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Hallo Diego,
> Dann hätte ich das LGS
> [mm]a_{21}[/mm] - [mm]a_{12}[/mm] =0
> [mm]a_{12}[/mm] - [mm]a_{21}[/mm] =0
>
> Aber was genau hab ich davon?
Wenn du die Gleichungen umformst, kommst du auf
[mm]a_{21}=a_{12}[/mm], d.h. alle Matrizen, die diese Eigenschaften erfüllen, liegen im Kern.
Wie setzen sich diese Matrizen zusammen und was ist somit ker(f) ?
[mm]Bild(f) = \{B|\exists A: B=f(A)\} [/mm]
[mm]= \{B|\exists A: B = A^T - A\} [/mm]
[mm]= \{B|\exists A: B = \pmat{ 0 & a_{21}-a_{12} \\ a_{12}-a_{21} & 0 }\} [/mm]
[mm]= \{B|\exists A: B = \pmat{ 0 & a_{21}-a_{12} \\ - (a_{21}-a_{12} & 0 }\} [/mm]
[mm]= \{B|B = \pmat{ 0 & c \\ -c & 0 }, c\in\IR\}[/mm]
Kommst nun alleine weiter?
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Do 04.01.2007 | | Autor: | diego |
Guten Abend,
leider komme ich nicht wirklich weiter...
Kern(f) ist bei mir jetzt [mm] \pmat{ 0 & c \\ c & 0 }
[/mm]
Wie ich V/Bild(f) berechen weiß ich auch nicht.
Wie bestimme ich eine Basis? Die Vektoren müssen ja lin. Unabhängig sein und ein Erzeugendensystem bilden.
Wäre für Kern(f) beispielsweise a * [mm] \pmat{ 0 \\ c } [/mm] + b * [mm] \pmat{ c \\ 0 }?
[/mm]
Danke!!
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 21:47 Do 04.01.2007 | | Autor: | Stoecki |
Wenn ich die notation richtig verstehe ist [mm] V=M_{22} (\IR) [/mm] der raum der 2x2 matrizen. das heißt dein vektor ist eine 2x2 matrix und deine basis für den kern wäre zum beispiel [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }.
[/mm]
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Ein Teil der Basis wäre [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm] ;)
Was ist z.B. mit [mm]\pmat{ 4 & 1 \\ 1 & 9 }[/mm] ??
Gruß,
Gono.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:32 So 07.01.2007 | | Autor: | diego |
Guten Abend,
ich hasbe doch noch eine lösung für V/Bild(f) gefunden, hat zwar gedauert, bis mir was einfiel, aber wenigstens ein kleiner Erfolg...
Aber jetzt finde ich keine Basen.
Wenn ich beispielsweise bei Kern(f) nur [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] oder [mm] \pmat{ 4 & 1 \\ 1 & 9 } [/mm] nehme habe ich kein Erzeugendensystem, da sie nicht invertierbar sind, also sind sie so keine Basis.
Aber wi kann ich es ausrechnen, wenn beide zusammen eine Basis sein sollen? Wenn ich die Vektoren einzeln nehme erhalte ich immer zwei Gleichungen mit 4 Unbekannten.
Bitte um Hilfe!!
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 09.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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