Banachscher Fixpunktsatz Korre < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:31 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Funktion $ [mm] f:[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\to [\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}],\, [/mm] x [mm] \mapsto \pi [/mm] + [mm] \arctan(x) [/mm] $
genau einen Fixpunkt hat und berechnen Sie diesen numerisch auf zwei Dezimalstellen genau.
postid=1357899]
Mit dem Schrankensatz folgt
$ [mm] \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\arctan(x)=\frac{1}{1+x^2}$
[/mm]
also
$ [mm] |\frac{1}{1+x^2}| \leq |\frac{1}{1+\frac{\pi}{4}^2}| \,\,\,\, \forall [/mm] x [mm] \in [\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}] \Rightarrow [/mm] q [mm] =|\frac{1}{1+\frac{\pi}{2}^2}| [/mm] $,wobei q die Kon.konstante ist.
Nun berechne die $ f(c) = c$
dazu
$ [mm] x_0 [/mm] = 2 [mm] \in [\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}] [/mm] $
[mm] $x_1 [/mm] = [mm] \pi [/mm] + [mm] \arctan(2) [/mm] $
$ [mm] x_2= \pi [/mm] + [mm] \arctan(x_1)$
[/mm]
.
.
.
[mm] $\lim_{n \to \infty} x_n [/mm] = [mm] \pi [/mm] + [mm] \arctan(x_{n-1}) \to [/mm] 4,5$
Nun zur Fehlerabschätzung
[mm] $(\frac{(\frac{1}{1+\frac{\pi}{4}^2})^5}{1-\frac{1}{1+\frac{\pi}{4}^2} } [/mm] )*|4.5- [mm] \pi [/mm] + [mm] \arctan(2)| [/mm] = 0.00630 $
also für n =5 . |
Ist das richtig so ?
Viele Grüße,
Nadia
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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Hallo Nadia..,
> Zeigen Sie, dass die Funktion
> [mm]f:[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\to [\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}],\, x \mapsto \pi + \arctan(x) [/mm]
>
> genau einen Fixpunkt hat und berechnen Sie diesen numerisch
> auf zwei Dezimalstellen genau.
> postid=1357899]
>
> Mit dem Schrankensatz folgt
> [mm]\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\arctan(x)=\frac{1}{1+x^2}[/mm]
>
> also
>
> [mm]|\frac{1}{1+x^2}| \leq |\frac{1}{1+\frac{\pi}{4}^2}| \,\,\,\, \forall x \in [\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}] \Rightarrow q =|\frac{1}{1+\frac{\pi}{2}^2}| [/mm],wobei
> q die Kon.konstante ist.
>
>
> Nun berechne die [mm]f(c) = c[/mm]
>
> dazu
> [mm]x_0 = 2 \in [\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}][/mm]
> [mm]x_1 = \pi + \arctan(2)[/mm]
>
> [mm]x_2= \pi + \arctan(x_1)[/mm]
> .
> .
> .
> [mm]\lim_{n \to \infty} x_n = \pi + \arctan(x_{n-1}) \to 4,5[/mm]
>
> Nun zur Fehlerabschätzung
>
> [mm](\frac{(\frac{1}{1+\frac{\pi}{4}^2})^5}{1-\frac{1}{1+\frac{\pi}{4}^2} } )*|4.5- \pi + \arctan(2)| = 0.00630 [/mm]
>
> also für n =5 .
>
Hier hast Du die a-priori-Abschätzung verwendet.
Daher muss hier stehen:
[mm](\frac{(\frac{1}{1+\frac{\pi}{4}^2})^5}{1-\frac{1}{1+\frac{\pi}{4}^2} } )*|x_{1}-x_{0}| \approx 0.00630 [/mm]
>
>
> Ist das richtig so ?
Mit den angebrachten Korrekturen stimmt das.
>
> Viele Grüße,
> Nadia
>
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.)
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:09 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
vielen dank
Lg
Nadia..
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