Banachscher Fixpunktsatz < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir betrachten die Abbildung:
[mm] f:\IR^2 \to \IR^2 [/mm] mit (x,y) [mm] \mapsto \pmat{ \bruch {1}{16} x - \bruch{1}{18} cos(y) \\ \bruch{1}{20} arctan(x) + \bruch{1}{22} y }
[/mm]
(a) Zeigen Sie, dass [mm] \parallel Df(x,y)\parallel\ \le \bruch{1}{2} [/mm] für alle [mm] (x,y)\in \IR. [/mm] sie können dabei verwenden, dass für jede $n x m$-Matrix $A=(a_ij)$ gilt:
[mm] \parallel A\parallel\ \le \wurzel{nm} \summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{m}|a_{ij}|
[/mm]
(b) Zeigen Sie, dass es ein [mm] (x,y)\in\IR^2 [/mm] gibt, so dass f(x,y)=(x,y) |
Der Aufgabenteil (a) ist relativ simpel. Da habe ich echt kleiner heraus bekommen, sprich: [mm] \parallel Df(x,y)\parallel\ <\bruch{1}{2}
[/mm]
Beim Aufgabenteil (b) wollte ich den Banachschen Fixpunktsatz zusammen mit dem Schrankensatz verwenden, wobei meine Kontraktionabbildung meine Funktion f selbst ist. (Geht das? [mm] \IR^2 [/mm] ist doch sowohl offen, als auch abgeschlossen ...)
Der Schrankensatz besagt (mit [mm] (\IR^2,\parallel -\parallel [/mm] ) Banachraum):
[mm] \parallel f(a)-f(b)\parallel\ \le \sup_{x\in\overline{ab}}\parallel D_xf\parallel\parallel b-a\parallel
[/mm]
Da nach der Teilaufgabe (a) gilt: [mm] \sup_{x\in\overline{ab}}\parallel D_xf\parallel\ \le \bruch{1}{2}=: \theta\in[0,1)
[/mm]
Somit ist f eine Kontraktionabbildung und damit besitzt f einen Fixpunkt ... Kann ich das so machen, oder habe ich einen Denkfehler bzw. habe ich eine Voraussetzung missachtet?
LG
Alex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:16 Mo 16.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Wir betrachten die Abbildung:
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> [mm]f:\IR^2 \to \IR^2[/mm] mit (x,y) [mm]\mapsto \pmat{ \bruch {1}{16} x - \bruch{1}{18} cos(y) \\ \bruch{1}{20} arctan(x) + \bruch{1}{22} y }[/mm]
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> (a) Zeigen Sie, dass [mm]\parallel Df(x,y)\parallel\ \le \bruch{1}{2}[/mm]
> für alle [mm](x,y)\in \IR.[/mm] sie können dabei verwenden, dass
> für jede [mm]n x m[/mm]-Matrix [mm]A=(a_ij)[/mm] gilt:
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> [mm]\parallel A\parallel\ \le \wurzel{nm} \summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{m}|a_{ij}|[/mm]
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> (b) Zeigen Sie, dass es ein [mm](x,y)\in\IR^2[/mm] gibt, so dass
> f(x,y)=(x,y)
> Der Aufgabenteil (a) ist relativ simpel. Da habe ich echt
> kleiner heraus bekommen, sprich: [mm]\parallel Df(x,y)\parallel\ <\bruch{1}{2}[/mm]
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> Beim Aufgabenteil (b) wollte ich den Banachschen
> Fixpunktsatz zusammen mit dem Schrankensatz verwenden,
> wobei meine Kontraktionabbildung meine Funktion f selbst
> ist. (Geht das? [mm]\IR^2[/mm] ist doch sowohl offen, als auch
> abgeschlossen ...)
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> Der Schrankensatz besagt (mit [mm](\IR^2,\parallel -\parallel[/mm] )
> Banachraum):
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> [mm]\parallel f(a)-f(b)\parallel\ \le \sup_{x\in\overline{ab}}\parallel D_xf\parallel\parallel b-a\parallel[/mm]
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> Da nach der Teilaufgabe (a) gilt:
> [mm]\sup_{x\in\overline{ab}}\parallel D_xf\parallel\ \le \bruch{1}{2}=: \theta\in[0,1)[/mm]
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> Somit ist f eine Kontraktionabbildung und damit besitzt f
> einen Fixpunkt ... Kann ich das so machen, oder habe ich
> einen Denkfehler bzw. habe ich eine Voraussetzung
> missachtet?
Alles bestens !
FRED
>
> LG
> Alex
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:44 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Quadratur |
Hallo fred97,
danke für deine Hilfe! Dann kann ich mich ans gründliche ausformulieren setzen!
LG
Alex
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