Banachscher Fixpunktsatz < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:47 Di 21.06.2005 | | Autor: | DAB268 |
Eine Fixpunktiteration [mm] x_{n+1}=F(x_{n}) [/mm] sei defniert durch [mm] F(x)=1+\bruch{1}{x}+(\bruch{1}{x})^{2}.
[/mm]
Man verifiziere, dass F(x) für das Intervall [1,75;2,0] die Voraussetzungen des Fixpunktsatzes von
Banach erfüllt. Wie groß ist die minimale Lipschitz-Konstante L?
Es müsste somit zu zeigen sein, dass F(x) eine Selbstabbildung ist und das F(x) kontrahierend ist. Die minimale Lipschitz-Konstante L müsste min(F(x)) sein, also F'(x)=0 und F''(x)>0.
Das Problem ist, dass ich keine Ahnung habe, wie ich das zeigen soll. Ein geeignetes Beispiel konnte ich in meinen Unterlagen nicht finden.
Könnt ihr mir weiterhelfen?
MfG
Christian
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also zunächst einmal muß es sich wenn du den banaschen fixpunktsatz anwenden möchtest ein abgeschloßenes Intervall vorliegen, das tut es hier ja schon mal 
dann setz du die Intervallgrenzen in F(x) ein
F(1,75) [mm] \approx [/mm] 1,89 und F(2,0) =1,75 beide ausgerechneten werte liegen im Intervall von [1,75;2,0] also ist F(x) selbstabbildend!
nun mußt du nur noch L berechnen! Dafür brauchst du die Ableitung von F(x) die müßte [mm] -\bruch{1}{x²}-2* \bruch{1}{x³} [/mm] lauten ( hoffe ich hab nicht verrechnet)
dann setz du wieder die beiden INtervallgrenzen ein
F`(1,75) -0,7
und F´(2,0) =-0,5
das Maximum von diesen beiden werten (allerdings muß du den betragsmäßig größten eintrag nehmen) ist dann dein gesuchtes L! L darf allerdings nicht größer als eins sein!
Hier wäre L also 0,7! das ist kleiner 1 !glück gehabt!
Ich hoffe ich konnte dir helfen!
schönen tag noch der superkermit!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:11 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Julius |
Halo superkermit!
Im Allgemeinen genügt es nicht die beiden Randwerte einzusetzen, weder um herauszufinden, ob $F$ eine Selbstabbildung ist noch ob es eine Kontraktion ist. Man müsste dann schon detaillierte Untersuchgen bezüglich Monotonien von $F$ und $F'$ vornehmen um so ein Vorgehen im Einzelfall zu rechtfertigen.
Zur Bestimmung von $L$ etwa muss man im Allgemeinen das betragliche Supremum der ersten Ableitung auf dem Intervall bilden.
Viele Grüße
Julius
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> Eine Fixpunktiteration [mm]x_{n+1}=F(x_{n})[/mm] sei defniert durch
> [mm]F(x)=1+\bruch{1}{x}+(\bruch{1}{x})^{2}.[/mm]
> Man verifiziere, dass F(x) für das Intervall [1,75;2,0]
> die Voraussetzungen des Fixpunktsatzes von
> Banach erfüllt. Wie groß ist die minimale
> Lipschitz-Konstante L?
>
> Es müsste somit zu zeigen sein, dass F(x) eine
> Selbstabbildung ist
Dein Intervall ist abgeschlossen.
Guck Dir F'(x) an. Du siehst, daß F(x) auf dem Intervall fällt. Nun ergibt die Betrachtung der Intervallgrenzen die Schranken für F(A), und Du siehst, daß F:A [mm] \to [/mm] A.
Kontraktion: seien x,y [mm] \in [/mm] A. Es ist [mm] |F(x)-F(y)|=...=x^{-2}y^{-2}|(x+y)(x-y)+xy(x-y)|=x^{-2}y^{-2}(x+y+xy)|x-y| \le...
[/mm]
Den Faktor [mm] x^{-2}y^{-2}(x+y+xy) [/mm] kannst Du anhand der Intervallgrenzen abschätzen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Mi 22.06.2005 | | Autor: | DAB268 |
Hi und danke!
> > Eine Fixpunktiteration [mm]x_{n+1}=F(x_{n})[/mm] sei defniert durch
> > [mm]F(x)=1+\bruch{1}{x}+(\bruch{1}{x})^{2}.[/mm]
> > Man verifiziere, dass F(x) für das Intervall [1,75;2,0]
> > die Voraussetzungen des Fixpunktsatzes von
> > Banach erfüllt. Wie groß ist die minimale
> > Lipschitz-Konstante L?
> >
> > Es müsste somit zu zeigen sein, dass F(x) eine
> > Selbstabbildung ist
>
> Dein Intervall ist abgeschlossen.
> Guck Dir F'(x) an. Du siehst, daß F(x) auf dem Intervall
> fällt. Nun ergibt die Betrachtung der Intervallgrenzen die
> Schranken für F(A), und Du siehst, daß F:A [mm]\to[/mm] A.
>
> Kontraktion: seien x,y [mm]\in[/mm] A. Es ist
> [mm]|F(x)-F(y)|=...=x^{-2}y^{-2}|(x+y)(x-y)+xy(x-y)|=x^{-2}y^{-2}(x+y+xy)|x-y| \le...[/mm]
Man erhält ja nun, wenn man durch |x-y| teilt als Ergebnis, dass [mm] L\ge\bruch{1}{x^{2}}\bruch{1}{y^{2}}*(y+x+xy)
[/mm]
Im Normalfall würde ich jetzt sagen, da diese Funktion ebenfalls monoton fallend ist, ergibt sich die minimale Lipschitz-Konstante durch x=1,75.
Was ist aber mit y? Ist y ebenfalls 1,75?
MfG
Christian
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> Hi und danke!
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> > > Eine Fixpunktiteration [mm]x_{n+1}=F(x_{n})[/mm] sei defniert durch
> > > [mm]F(x)=1+\bruch{1}{x}+(\bruch{1}{x})^{2}.[/mm]
> > > Man verifiziere, dass F(x) für das Intervall
> [1,75;2,0]
> > > die Voraussetzungen des Fixpunktsatzes von
> > > Banach erfüllt. Wie groß ist die minimale
> > > Lipschitz-Konstante L?
...
> > Dein Intervall ist abgeschlossen.
> > Guck Dir F'(x) an. Du siehst, daß F(x) auf dem
> Intervall
> > fällt. Nun ergibt die Betrachtung der Intervallgrenzen die
> > Schranken für F(A), und Du siehst, daß F:A [mm]\to[/mm] A.
> >
> > Kontraktion: seien x,y [mm]\in[/mm] A. Es ist
> >
> [mm]|F(x)-F(y)|=...=x^{-2}y^{-2}|(x+y)(x-y)+xy(x-y)|=
|x-y| \le...[/mm]
Hallo,
ich würde nun diesen Faktor [mm] x^{-2}y^{-2}(x+y+xy) [/mm] abschätzen für die Kontaktionseigenschaft. Es ist [mm] x^{-2}y^{-2}(x+y+xy) \le 1.75^{-2}*1.75^{-2}(2+2+2*2)= \bruch{2048}{2401}<1. [/mm]
Nun zur minimalen Lipschitz-Konstante. Die scheinen wissen zu wollen, wie klein dieser Faktor [mm] x^{-2}y^{-2}(x+y+xy) [/mm] überhaupt werden kann. Nun gut, machen wir das Gegenteil von dem oben, wo wir eine obere Schranke bestimmt hatten: überlegen wir, wie wir den Faktor unter Beachtung der Intervallgrenzen möglichst klein kriegen.
[mm] x^{-2}y^{-2}(x+y+xy) \ge2^{-2}2^{-2}(1.75+1.75+1.75*1.75)= \bruch{105}{256}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:41 Do 23.06.2005 | | Autor: | DAB268 |
> Nun zur minimalen Lipschitz-Konstante. Die scheinen wissen
> zu wollen, wie klein dieser Faktor [mm]x^{-2}y^{-2}(x+y+xy)[/mm]
> überhaupt werden kann. Nun gut, machen wir das Gegenteil
> von dem oben, wo wir eine obere Schranke bestimmt hatten:
> überlegen wir, wie wir den Faktor unter Beachtung der
> Intervallgrenzen möglichst klein kriegen.
> [mm]x^{-2}y^{-2}(x+y+xy) \ge2^{-2}2^{-2}(1.75+1.75+1.75*1.75)= \bruch{105}{256}.[/mm]
Du hast heir aber in einem F(x) bereits 2 Werte für x gewählt: 1,75 und 2, dort drüftest du aber doch nur einen Wert wählen.
MfG
Christian
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Hallo Christian,
Um eine Abschätzung zu machen wäre das schon erlaubt hier nützt einem aber das [mm] \ge [/mm] nichts da die Ausgangsgleichung
[mm] |F(x)-F(y)|=...=x^{-2}y^{-2}|(x+y)(x-y)+xy(x-y)|=x^{-2}y^{-2}(x+y+xy)|x-y|\le [/mm] L|x-y|
ein [mm] \le [/mm] verlangen würde.
einfacher wäre hier zu nutzen maximale Ableitung = minimale L-Konstante wie das superkermit schon geschrieben hatte.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:46 Do 23.06.2005 | | Autor: | DAB268 |
Danke an alle, die mir bei dieser Aufgabe geholfen haben...
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