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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:40 Di 19.10.2010 | | Autor: | Vertax |
| Aufgabe | Satz: Eine Funktion f bildet das Intervall [mm]I=[c,d][/mm] in sich ab, d.h. für alle [mm]x \in I[/mm] gilt [mm]f(x)\in I[/mm] [Selbstabbildungsvorraussetzung]
Außerdem sei [mm]|f'(x)|\leq q < 1[/mm] für alle [mm]x\in I[/mm] [Ableitungsvorraussetzung]
Dann besitzt [mm]f in I[/mm] genau einen Fixpunkt [mm]x^*[/mm] und die Iteriertenfolge [mm]x_{k+1}=f(X_k)[/mm]
Konvergiert für jeden Startwert[mm]X_0\in I[/mm]
------------------------------------------------------------------------
Anmerkung:
Das Bezugsintervall [mm]I[/mm] stell das Hauptproblem des Satzes dar. Aber sofern [mm]f(x)[/mm] eine monotone Funktion ist,lassen sich die Vorraussetzungen relativ leicht prüfen und eingeeignetes Intervall bennenen.
------------------------------------------------------------------------
Beispielaufgabe:
[mm]f(x)=\sqrt{\frac{x}{2} }+\frac{8}{9}*x+2 = 0 [/mm]
Monotonie überprüfung:
[mm]f'(x) = \frac{1}{4} * \frac{1}{\sqrt{\frac{x}{2} }}+\frac{8}{9} [/mm] -> Streng Monoton wachsend
Überprüfung der Ableitungsbedingung:
[mm]|f(x)|=f'(x)=\frac{1}{4}*\frac{1}{\sqrt{\frac{x}{2} }}+\frac{8}{9} = 1[/mm]
[mm]\frac{1}{4}*\frac{1}{\sqrt{\frac{x}{2} }} = \frac{1}{9}[/mm]
[mm]\frac{1}{\sqrt{\frac{x}{2} }} = \frac{4}{9}[/mm]
[mm]\sqrt{\frac{x}{2}} = \frac{9}{4}[/mm]
[mm]\frac{x}{2} = \frac{81}{16}[/mm]
[mm]\tilde x = 10.125[/mm]
Untere Grenze im Intervall C kann somit bestimmt werden:
[mm]x > \tilde x[/mm] damit [mm]f'(x)<1[/mm] bleibt
C = 11 wäre geeignet |
Frage 1: Dient das Intervall [mm]I =[c,d][/mm] dazu um einen geeigneten Startwert [mm]X_0[/mm] zu wählen damit die Iterationsfolge nicht unterbrochen wird? Also muss [mm] X_0 [/mm] im Intervall liegen?
Frage 2: Die Ableitungsvorraussetzung lautet ja:
[mm]|f'(x)|\leq q < 1[/mm] für alle [mm]x\in I[/mm]
Wieso wurde in dem Beispiel nur "= 1" gesetzt, ich denke f'(x) muss auch kleiner gleich q sein?
Frage 3: Wie bestimme ich die Obere Grenze?
Also wie man die Untere Grenze bestimmt glaube ich zu verstehen.
Mann muss einfach = 1 setzen nachdem man die Monotonie überprüft hat und nach X auflösen um die Zahl zu erhalten die F'(x) = 1 werden lässt um x so zu wählen das f'(x)<1 bleibt.
Aber wie mache ich das dann mit der Oberen Grenze?
Frage 4:
Was hat es mit der Selbstabbildungs vorraussetzung auf sich?
Ist das einfach nur die Überprüfung ob f(x) monoton ist?
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Hallo Vertax,
> Satz: Eine Funktion f bildet das Intervall [mm]I=[c,d][/mm] in sich
> ab, d.h. für alle [mm]x \in I[/mm] gilt [mm]f(x)\in I[/mm]
> [Selbstabbildungsvorraussetzung]
>
> Außerdem sei [mm]|f'(x)|\leq q < 1[/mm] für alle [mm]x\in I[/mm]
> [Ableitungsvorraussetzung]
>
> Dann besitzt [mm]f in I[/mm] genau einen Fixpunkt [mm]x^*[/mm] und die
> Iteriertenfolge [mm]x_{k+1}=f(X_k)[/mm]
> Konvergiert für jeden Startwert[mm]X_0\in I[/mm]
>
> ------------------------------------------------------------------------
> Anmerkung:
> Das Bezugsintervall [mm]I[/mm] stell das Hauptproblem des Satzes
> dar. Aber sofern [mm]f(x)[/mm] eine monotone Funktion ist,lassen
> sich die Vorraussetzungen relativ leicht prüfen und
> eingeeignetes Intervall bennenen.
>
> ------------------------------------------------------------------------
>
> Beispielaufgabe:
> [mm]f(x)=\sqrt{\frac{x}{2} }+\frac{8}{9}*x+2 = 0 [/mm]
>
> Monotonie überprüfung:
> [mm]f'(x) = \frac{1}{4} * \frac{1}{\sqrt{\frac{x}{2} }}+\frac{8}{9}[/mm]
> -> Streng Monoton wachsend
>
> Überprüfung der Ableitungsbedingung:
> [mm]|f(x)|=f'(x)=\frac{1}{4}*\frac{1}{\sqrt{\frac{x}{2} }}+\frac{8}{9} = 1[/mm]
>
> [mm]\frac{1}{4}*\frac{1}{\sqrt{\frac{x}{2} }} = \frac{1}{9}[/mm]
>
> [mm]\frac{1}{\sqrt{\frac{x}{2} }} = \frac{4}{9}[/mm]
>
> [mm]\sqrt{\frac{x}{2}} = \frac{9}{4}[/mm]
> [mm]\frac{x}{2} = \frac{81}{16}[/mm]
>
> [mm]\tilde x = 10.125[/mm]
>
> Untere Grenze im Intervall C kann somit bestimmt werden:
> [mm]x > \tilde x[/mm] damit [mm]f'(x)<1[/mm] bleibt
> C = 11 wäre geeignet
> Frage 1: Dient das Intervall [mm]I =[c,d][/mm] dazu um einen
> geeigneten Startwert [mm]X_0[/mm] zu wählen damit die
> Iterationsfolge nicht unterbrochen wird? Also muss [mm]X_0[/mm] im
> Intervall liegen?
Ja.
>
> Frage 2: Die Ableitungsvorraussetzung lautet ja:
>
> [mm]|f'(x)|\leq q < 1[/mm] für alle [mm]x\in I[/mm]
>
> Wieso wurde in dem Beispiel nur "= 1" gesetzt, ich denke
> f'(x) muss auch kleiner gleich q sein?
>
Im Grunde hast Du Recht, es müssen hier diejenigen x ermittelt
werden, für die:
[mm]|f(x)|=f'(x)=\frac{1}{4}*\frac{1}{\sqrt{\frac{x}{2} }}+\frac{8}{9} < 1[/mm]
> Frage 3: Wie bestimme ich die Obere Grenze?
> Also wie man die Untere Grenze bestimmt glaube ich zu
> verstehen.
> Mann muss einfach = 1 setzen nachdem man die Monotonie
> überprüft hat und nach X auflösen um die Zahl zu
> erhalten die F'(x) = 1 werden lässt um x so zu wählen das
> f'(x)<1 bleibt.
>
> Aber wie mache ich das dann mit der Oberen Grenze?
Nun, da f streng monton ist, ist die obere Grenze nicht bestimmbar.
>
> Frage 4:
> Was hat es mit der Selbstabbildungs vorraussetzung auf
> sich?
> Ist das einfach nur die Überprüfung ob f(x) monoton ist?
>
Die Selbstabbildungsvoraussetzung garantiert ,
daß für alle x die in einem Intervall I liegen, auch
f(x) wieder in diesem Intervall I liegt.
Gruss
MathePower
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