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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:26 Mo 27.04.2009 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Sei X ein Banachraum.
Zeige:
(i) Wenn [mm] x_k [/mm] schwach gegen x in X konvergiert, dann existiert ein K > 0, so dass [mm] \|x_k\|_X \leq [/mm] K für alle k [mm] \in [/mm] N.
(ii) Wenn [mm] f_k [/mm] stern-schwach gegen f in X' konvergiert, dann existiert ein K > 0, so dass [mm] \|f_k\|_{X'} \leq [/mm] K für alle k [mm] \in [/mm] N. |
Hallo,
ich schätze mal, dass diese Aufgabe hier hilft, um die Behauptungen zu zeigen. Allerdings weiß ich nicht wie ich das mit dem beschränkt und punktweise konvergent kombinieren kann... wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte...
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:10 Di 28.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Riley!
> Zeige:
> (i) Wenn [mm]x_k[/mm] schwach gegen x in X konvergiert, dann
> existiert ein K > 0, so dass [mm]\|x_k\|_X \leq[/mm] K für alle k
> [mm]\in[/mm] N.
>
> (ii) Wenn [mm]f_k[/mm] stern-schwach gegen f in X' konvergiert, dann
> existiert ein K > 0, so dass [mm]\|f_k\|_{X'} \leq[/mm] K für alle k
> [mm]\in[/mm] N.
>
> Hallo,
> ich schätze mal, dass diese Aufgabe
> hier hilft, um die
> Behauptungen zu zeigen.
Genau.
> Allerdings weiß ich nicht wie ich
> das mit dem beschränkt und punktweise konvergent
> kombinieren kann... wäre super, wenn mir jemand
> weiterhelfen könnte...
Nun, du musst zeigen, dass [mm] $\{ x_k \mid k \in \IN \}$ [/mm] bzw. [mm] $\{ f_k \mid k \in \IN \}$ [/mm] beschraenkt ist. Und dafuer hast du die andere Aufgabe.
Beachte: wenn z.B. fuer ein $f$ gilt, dass [mm] $f(x_k)$, [/mm] $k [mm] \in \IN$ [/mm] konvergent ist, dann ist [mm] $\{ f(x_k) \mid k \in \IN \}$ [/mm] insbesondere beschraenkt.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:41 Di 28.04.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo !
Danke für die Hinweise!
> Nun, du musst zeigen, dass [mm]\{ x_k \mid k \in \IN \}[/mm] bzw. [mm]\{ f_k \mid k \in \IN \}[/mm]
> beschraenkt ist. Und dafuer hast du die andere Aufgabe.
>
> Beachte: wenn z.B. fuer ein [mm]f[/mm] gilt, dass [mm]f(x_k)[/mm], [mm]k \in \IN[/mm]
> konvergent ist, dann ist [mm]\{ f(x_k) \mid k \in \IN \}[/mm]
> insbesondere beschraenkt.
>
Ich hab hier ja aber immer nur (stern)schwache Konvergenz?
Folgt aus der schwachen Konvergenz punktweise Beschränktheit? Brauche ich hier nicht auch wieder B-S um von punktweise Konvergenz zur glmg. Konv zu kommen?
Viele Grüße,
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 30.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Di 28.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu (i): das
"Es konvergiere $ [mm] (x_k) [/mm] $ schwach gegen x. Also $ [mm] x'(x_k) \to [/mm] $ x'(x) für jedes x' in X'
Fasse nun jedes $ [mm] x_k [/mm] $ und auch x als Elemente des Biduals X'' auf
(das habe ich Dir gestern erklärt !)
Dann ist $ [mm] (x_k) [/mm] $ eine Folge stetiger Linearformen auf X' und x ist eine stetige Linearform auf X'
$ [mm] x'(x_k) \to [/mm] $ x'(x) für jedes x' in X' bedeutet nun gerade, dass $ [mm] (x_k) [/mm] $ auf X' punktweise gegn x konvergiert.
Der Satz von Banach-Steinhaus besagt nun: $ [mm] (||x_k||) [/mm] $ ist beschränkt."
habe ich Dir früher einmal geschrieben !!
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Di 28.04.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
ja du hattest mir schon mal so etwas erklärt - aber irgendwie hätte die Reihenfolge der Aufgaben andersherum sein sollen.
Wo hast du aber hier das Ergebnis von der Aufgabe gebraucht?
Irgendwie versteh ich das nicht, wenn das sofort aus Banach-Steinhaus folgt?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:19 Mi 29.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ja du hattest mir schon mal so etwas erklärt - aber
> irgendwie hätte die Reihenfolge der Aufgaben andersherum
> sein sollen.
>
> Wo hast du aber hier das Ergebnis von der
> Aufgabe gebraucht?
Hab ich doch gar nicht !
Bei (i) sollst Du zeigen: eine schwach konvergente Folge in einem Banachraum ist beschränkt.
Den Beweis habe ich Dir jetzt schon zweimal vorgemacht !
FRED
>
> Irgendwie versteh ich das nicht, wenn das sofort aus
> Banach-Steinhaus folgt?
>
> Viele Grüße,
> Riley
>
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