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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Fr 19.10.2007 | | Autor: | jno |
| Aufgabe | Sei $ [mm] X:=(C^1([a,b]) [/mm] $ mit $a<b$ und [mm] $p_3(f):X\rightarrow\IR, f\mapsto|f(a)| [/mm] + [mm] \sup\lbrace|f'(s)|: s\in[a,b]\rbrace$.
[/mm]
Zeigen Sie: [mm] $(X,p_3)$ [/mm] ist ein Banachraum. |
Ich habe bereits gezeigt, dass [mm] $(X,p_3)$ [/mm] ein normierter Vektorraum ist. Ich muss jetzt noch zeigen, dass jede Cauchyfolge [mm] $f_n$ [/mm] in $X$ konvergiert, also:
[mm] $\left(\forall\varepsilon>0\right)\left(\exists N\in\IN\right)\left(\forall n,m>N\right):\left(|f_m(a)-f_n(a)| + \sup\lbrace|f_m'(s)-f'_n(s)|: s\in[a,b]\rbrace\right)<\varepsilon$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $\left(\exists f \in X\right)\left(\forall\varepsilon>0\right)\left(\exists N\in\IN\right)\left(\forall n>N\right):\left(|f_n(a)-f(a)| + \sup\lbrace|f_n'(s)-f'(s)|: s\in[a,b]\rbrace\right)<\varepsilon$ [/mm]
Ich hab leider keine Ahnung wie ich diesen letzten Schritt zeigen soll, in der Übung hatten wir zB die Räume Raum [mm] $\IR^d$ [/mm] und [mm] $l^\infty$, [/mm] da hatte jedes Element nur abzählbar viele Elemente und man konnte sich irgendwie auf die Vollständigkeit von [mm] $\IR$ [/mm] berufen, aber das funktioniert hier jetzt ja nicht mehr... Wäre schön, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte.
Gruß
Jens
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi,
> Sei [mm]X:=(C^1([a,b])[/mm] mit [mm]a
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> Zeigen Sie: [mm](X,p_3)[/mm] ist ein Banachraum.
> Ich habe bereits gezeigt, dass [mm](X,p_3)[/mm] ein normierter
> Vektorraum ist. Ich muss jetzt noch zeigen, dass jede
> Cauchyfolge [mm]f_n[/mm] in [mm]X[/mm] konvergiert, also:
>
> [mm]\left(\forall\varepsilon>0\right)\left(\exists N\in\IN\right)\left(\forall n,m>N\right):\left(|f_m(a)-f_n(a)| + \sup\lbrace|f_m'(s)-f'_n(s)|: s\in[a,b]\rbrace\right)<\varepsilon[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\left(\exists f \in X\right)\left(\forall\varepsilon>0\right)\left(\exists N\in\IN\right)\left(\forall n>N\right):\left(|f_n(a)-f(a)| + \sup\lbrace|f_n'(s)-f'(s)|: s\in[a,b]\rbrace\right)<\varepsilon[/mm]
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> Ich hab leider keine Ahnung wie ich diesen letzten Schritt
> zeigen soll, in der Übung hatten wir zB die Räume Raum
> [mm]\IR^d[/mm] und [mm]l^\infty[/mm], da hatte jedes Element nur abzählbar
> viele Elemente und man konnte sich irgendwie auf die
> Vollständigkeit von [mm]\IR[/mm] berufen, aber das funktioniert hier
> jetzt ja nicht mehr... Wäre schön, wenn mir jemand einen
> Tipp geben könnte.
>
> Gruß
> Jens
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
ich würde diese aufgabe in zwei schritten angehen:
1.) zeigen, dass die norm [mm] $p_3$ [/mm] äquivalent zur standard [mm] $C^1$-supremumsnorm [/mm] ist
2.) argumentieren, dass [mm] C^1 [/mm] mit der supr.-norm vollständig ist.
zu 1.) die eine richtung [mm] $p_3(f)\le C\|f\|_{C^1}$ [/mm] ist easy.
die andere richtung [mm] $\|f\|_{C^1}\le [/mm] C [mm] p_3(f)$ [/mm] sollte mit einem argument über den hauptsatz der diff.-und int.-rechnung gehen:
[mm] $f(x)-f(a)=\int_x^a f'(s)\;ds$ [/mm] also folgt
[mm] $|f(x)|\le [/mm] |f(a)|+ (b-a) sup |f'|$
damit bist mit schritt 1.) schon fast fertig.
zu 2.) entweder ihr hattet das schon in der VL, fertig!
oder ihr hattet das noch nicht, dann hilft ein blick in ein lehrbuch der FA (zb. H.W. Alt : 'lineare FA'). Solche beweise sind meistens ein wenig tricky, so dass man das rad nicht neu erfinden sollte, sondern den beweis in einem lehrbuch studieren und verstehen sollte.
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 Sa 20.10.2007 | | Autor: | jno |
Vielen Dank schon mal. Was meinst du denn mit der "Standard [mm] $C^1$-Supremumsnorm"? [/mm] Einfach [mm] $\sup\lbrace|f(s)|: [/mm] s [mm] \in [a,b]\rbrace$ [/mm] ?
Das würde mich nämlich wundern, die vorige Teilaufgabe lautete nämlich:
Zeigen Sie dass [mm] $(X,p_2)$ [/mm] kein Banachraum ist, mit [mm] $p_2:=\sup\lbrace|f(s)|: [/mm] s [mm] \in [a,b]\rbrace$.
[/mm]
Noch mal um sicher zu gehen, dass kein Missverständnis vorliegt: Wir haben [mm] $C^1\left([a,b]\right)$ [/mm] definiert als [mm] $\lbrace [/mm] f:$ f stetig differenzierbar in [mm] $[a,b]\rbrace$ [/mm] definiert.
Gruß Jens
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 Sa 20.10.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
C1 ist mit der sup-Norm natürlich kein Banachraum. Aber mit der C1-Norm
(max{sup-Norm f; sup-Norm f´}). Das hattet ihr sicherlich in der Vorlesung, oderdu kannst es auch ganz einfach selber zeigen. Du kannst ja mal überprüfen, ob die C1-Norm zu deiner Normäquivalent ist.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:44 Mo 22.10.2007 | | Autor: | jno |
Vielen Dank für eure Antworten. Wir haben in der Vorlesung leider nur
[mm] $\left(C([a,b], ||\cdot||_\infty\right)$ [/mm] betrachtet und nicht [mm] $C^1$. [/mm] Ich habe daher leider auch noch nie etwas von einer [mm] $C^1$-Norm [/mm] gehört. Deshalb würde ich lieber einen anderen Weg wählen zu zeigen, dass es ein Banachraum ist. Kann mir noch jemand einen anderen Tipp geben?
Jens
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 Mi 24.10.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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