Banach-Raum aber kein Hilbert < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen!
Eine kurze Frage: Kann mir jemand ein Beispiel für einen Banach-Raum nennen, der kein Hilbert-Raum ist und es begründen? Ich denke die ganze Zeit an die "Mutter" aller Banach-Räume, den
[mm]l^{\infty}(I):=\{(x_{i})_{i \in I} : sup_{i \in I} |x_{i}|< \infty \} [/mm] mit der Sup.-Norm. Warum ist dieser aber kein Hilbert-Raum?
Liebe Grüße,
Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:48 Do 16.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Andreas!
Eine Norm kommt ja genau dann von einem Skalarprodukt, wenn die Norm die Parallelogrammgleichung
[mm] $\Vert [/mm] x+y [mm] \Vert^2 [/mm] + [mm] \Vert [/mm] x-y [mm] \Vert^2 [/mm] = [mm] 2(\Vert [/mm] x [mm] \Vert^2 [/mm] + [mm] \Vert [/mm] y [mm] \Vert^2)$
[/mm]
erfüllt. Vielleicht fällt dir ja selber ein Paar $(x,y) [mm] \in l^{\infty}(I) \times l^{\infty}(I)$ [/mm] ein, für das die Parallelogrammgleichung nicht gilt?
Du kannst dich ja vielleicht noch mal melden, ob es dir geholfen hat, gegebenenfalls dein Gegenbeispiel angeben oder aber nachfragen. 
Viele Grüße
Stefan
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Hallo Stefan!
> Vielleicht fällt dir ja selber ein Paar [mm](x,y) \in l^{\infty}(I) \times l^{\infty}(I)[/mm]
> ein, für das die Parallelogrammgleichung nicht gilt?
Jau, die Parallelogrammgleichung war der Knackpunkt, an dem es scheiterte. Hatte die ganze Zeit die Def. vom vollst. Innenproduktraum vor Augen.
Wenn man also für [mm]x \in l^{\infty}(I)[/mm] einfach den unendlich dim. Einheitsvektor [mm](0,...,0,1,0,...)[/mm] nimmt, der an i-ter Stelle die 1 hat und für y einen anderen Einheitsvektor, der an j-ter Stelle die 1 hat, dann ist in der sup-Norm [mm]||x+y||^2+||x-y||^2 = 1^2+1^2=2 \not= 4=2(1^2+1^2)=2(||x||^2+||y||^2)[/mm].
Danke nochmal für den Tipp, Stefan!
Liebe Grüße,
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:13 Do 16.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Andreas!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Liebe Grüße
Stefan
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