Bahnkurve eines Punktes < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:54 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Lewser |
| Aufgabe | Der Punkt A liegt auf der Y-Achse, der Punkt B auf der X-Achse.
Auf der Strecke [mm] \overline{AB} [/mm] liegt der Punkt P. Die Strecke [mm] \overline{AP} [/mm] hat die Länge a, die Strecke [mm] \overline{PB} [/mm] hat die Länge b.
Der Winkel bei B heisst [mm] \alpha.
[/mm]
Die Endpunkte A und B gleiten in geraden Schienen, welche Bahn beschreibt der Punkt P?
a) Angabe der Bahn in Parameterform mit [mm] \alpha [/mm] als Parameter
b) Welche Bahnkurve beschreibt der Punkt? |
Für die erste Aufgabenstellung brauche ich eine Überprüfung:
Ich habe die Koordinaten des Punktes mit Sinus und Cosinus ausgedrückt:
[mm] y_{\alpha}=a*sin(\alpha)
[/mm]
[mm] x_{\alpha}=b*cos(\alpha)
[/mm]
Die Lösung für die zweite Teilaufgabe ist: [mm] \bruch{x^{2}}{a^{2}}+\bruch{y^{2}}{b^{2}}=1
[/mm]
Ich finde leider keinen Ansatz, wie ich in die Nähe dieser Zusammenhänge komme.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:02 Mi 16.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Der Punkt A liegt auf der Y-Achse, der Punkt B auf der
> X-Achse.
> Auf der Strecke [mm]\overline{AB}[/mm] liegt der Punkt P. Die
> Strecke [mm]\overline{AP}[/mm] hat die Länge a, die Strecke
> [mm]\overline{PB}[/mm] hat die Länge b.
> Der Winkel bei B heisst [mm]\alpha.[/mm]
>
> Die Endpunkte A und B gleiten in geraden Schienen, welche
> Bahn beschreibt der Punkt P?
>
> a) Angabe der Bahn in Parameterform mit [mm]\alpha[/mm] als
> Parameter
> b) Welche Bahnkurve beschreibt der Punkt?
> Für die erste Aufgabenstellung brauche ich eine
> Überprüfung:
>
> Ich habe die Koordinaten des Punktes mit Sinus und Cosinus
> ausgedrückt:
>
> [mm]y_{\alpha}=a*sin(\alpha)[/mm]
> [mm]x_{\alpha}=b*cos(\alpha)[/mm]
Das stimmt nicht. Ist [mm] P=(x(\alpha),y(\alpha)), [/mm] so ist
[mm] x(\alpha)=a*cos(\alpha) [/mm] und [mm] y(\alpha)=b*sin(\alpha).
[/mm]
Skizze !!!
>
> Die Lösung für die zweite Teilaufgabe ist:
> [mm]\bruch{x^{2}}{a^{2}}+\bruch{y^{2}}{b^{2}}=1[/mm]
Berechne mal [mm] x(\alpha)^2+ y(\alpha)^2
[/mm]
FRED
>
> Ich finde leider keinen Ansatz, wie ich in die Nähe dieser
> Zusammenhänge komme.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:07 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Lewser |
Danke, fred! Beim ersten Teil habe ich mich verschrieben, hatte es eigentlich so, wie es gehört.
Ok, das mit dem quadrieren klingt sinnvoll. Aber wie kann man den Ansatz erklären? Wie bist du darauf gekommen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:11 Mi 16.01.2013 | | Autor: | fred97 |
[mm] sin^2(t) [/mm] + [mm] cos^2(t) [/mm] = 1
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:11 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Lewser |
Wie kommt dieser Ansatz zustande?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:13 Mi 16.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Wie kommt dieser Ansatz zustande?
Mal Dir ein Bild und benutze (für den 2. Teil) [mm] sin^2(t) [/mm] + [mm] cos^2(t) [/mm] = 1
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:17 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Lewser |
Japp, datt Bild hab ich. Die Gleichung ist mir ebenfalls bekannt.
Es hapert nur daran diese beiden Dinge zusammenzusetzen.
Also ich bekomme die Ellipsengleichung heraus. Aber mir erschließt sich nicht ganz, wie man diesen Ansatz findet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:19 Mi 16.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Japp, datt Bild hab ich. Die Gleichung ist mir ebenfalls
> bekannt.
> Es hapert nur daran diese beiden Dinge zusammenzusetzen.
> Also ich bekomme die Ellipsengleichung heraus. Aber mir
> erschließt sich nicht ganz, wie man diesen Ansatz findet.
Erzähl mal ganz genau, was Dir klar ist, und was nicht.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:31 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Lewser |
Die Gleichung [mm] sin^{2}x+cos^{2}x=1 [/mm] ist mir bekannt und ich kann daraus mit Hilfe der ersten Teilaufgabe auch die Ellipsengleichung herleiten.
Was mir nicht ganz klar ist, ist warum man die Quadrate bildet.
Liegt das daran, dass man sich vorher überlegt welche Bahnkurve der Punkt beschreiben würde und dann versucht man durch Umformung die Gleichung dahingehend zu verändern oder ist es aus geometrischen Zusammenhängen in der Zeichnung bereits erkennbar?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:46 Mi 16.01.2013 | | Autor: | fred97 |
Aus meinem bescheidenen Schatz an Erfahrungen mit der Mathematik:
Tipp 1: wenn irgendwo Bruce Willis auftaucht, denke nicht an Synchronschwimmen, sondern an Actionfilme.
Tipp 2: wenn irgendwo Sinus und Kosinus auftauchen, denke an $ [mm] sin^{2}x+cos^{2}x=1 [/mm] $. Oft lohnt es sich.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:00 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Lewser |
Also gehe ich richtig in der Annahme, dass man sich vorher überlegt, dass es eine Mittelpunktellipse ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:14 Mi 16.01.2013 | | Autor: | chrisno |
Nein. Erstens gibt es nur Ellipsen. Die Darstellung in der Mittelpunktform ergibt sich aus den Vorgaben. Andere Darstellungen drängen sich hier nicht auf.
Du könntest geometrisch argumentieren um so zu beweisen oder zu behaupten, dass die gesuchte Kurve eine Ellipse ist. Das ist hier nicht passiert. Es wäre ein anderer Zugang zu dieser Aufgabe.
Hier wurde aber nur gerechnet, weil es so schnell und einfach geht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:25 Mi 16.01.2013 | | Autor: | chrisno |
wenn man sin und cos sieht, dann noch die Summe von Quadraten, dann legt das nah, mal die Quadrate der Winkelfunktionen zu betrachten. Generell entspringen viele Lösungsansätze aus dem Repertoire, das man sich mit Übung angeeignet hat. Häufig gibt es keinen fertigen Lösungsweg. Dann ist Kreativität gefragt.
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