Bahnkurve < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 Di 01.04.2008 | | Autor: | jimi |
| Aufgabe | Nolting I, 1.2.8.:
Gegeben sei die Bahnkurve
[mm] \vec{r}(t)= \left( t , t^2 , \bruch{2}{3} t^3 \right) [/mm]
1. Bestimmen Sie die Bogenlänge s(t), wobei s(t=0)=0.
2. Berechnen Sie den Tangenteneinheitsvektor [mm] \vec{t} [/mm] als Funktion der Zeit t.
3. Geben sie die Krümmung [mm] \kappa [/mm] als Funktion von t an.
4. Bestimmen Sie das begleitende Dreibein als Funktion von t.
5. Geben Sie die Torsion [mm] \tau [/mm] als Funktion von t an. |
So.
Ok. 1. und 2. sind kein Problem:
1.)
[mm] s(t)= \int_{0}^{t} \left| \bruch{d \vec{r}(t')}{dt'} \right| dt' [/mm]
mit [mm] \bruch{d \vec{r}(t)}{dt}= \left( 1 , 2t , 2t^2 \right) [/mm]
folgt: [mm] \left| \frac{d \vec({r}(t)}{dt} \right| = \sqrt{1^2+4t^2+4t^4} = 2t^2+1 [/mm]
folgt: [mm] s(t)=\br{2}{3}t^3+t [/mm]
2.)
[mm] \vec{t}= \vec{t}(t)= \br{\br{d\vec{r}}{dt}}{ \left| \br{ d\vec{r} }{dt} \right| } = \br{1}{ 2t^2+1 } \cdot \left( 1 , 2t , 2t^2 \right) [/mm]
Jetzt für drittens gilt für die Krümmung:
[mm] \kappa = \left| \br{d\vec{t}}{ds} \right| = \left| \br{ d\vec{t}}{dt} \bruch{dt}{ds} \right| = \left| \bruch{d\vec{t}}{dt} \right| \cdot \br{1}{\left| \dot{\vec{r}}(t) \right|}[/mm]
Und da liegt jetzt mein eigentliches Problem.
Ich weiß nicht, wie ich von dem Vektor [mm] \vec{t} [/mm] die Ableitung bilde, also:
[mm] \br{d}{dt} \left[ \br{1}{ 1+2t^2 } \cdot \left( 1 , 2t , 2t^2 \right) \right] [/mm]
Ich komme auf:
[mm] \br{d\vec{t}}{dt} = \br{1}{ (1+2t^2)^2 } \left( -8t^2 , 2-4t^2 , 4t \right) [/mm]
aber das ist wohl falsch, da für [mm] \kappa [/mm]:
[mm] \kappa = \br{2}{(2t^2+1)^2} [/mm] herauskommen soll.
Wäre dankbar für eine Erklärung der Zeitableitung, danke schon mal.
Jimi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Di 01.04.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
einen Vektor leitet man ab, indem man alle seine einezlnen Komponenten ableitet. Das macht man ja z.B. bei [mm] $\vec{v}=d\vec{r}/dt$ [/mm] auch so.
Hier könntest du einfach den Vorfaktor in jedes Element des Vektors ziehen, und jede einzelne Komponente Ableiten.
Ich habe aber noch ein Problem mit deinem [mm] $\frac{1}{\dot{r}}$ [/mm] , denn es steht doch noch in deinem Produkt dt/ds und nicht dt/dr, so dass es dort doch eigentlich anstatt [mm] $\dot{r}$ $\dot{s}$ [/mm] heißen müsste?
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:19 Di 01.04.2008 | | Autor: | jimi |
naja,
[mm] ds = \left| \br{d\vec{r}}{dt} \right| dt [/mm]
und daraus:
[mm] \br{ds}{dt} = | \dot{\vec{r}} |[/mm]
also: [mm] \br{dt}{ds} = \br{1}{ \left| \dot{ \vec{r} } \right|} [/mm]
Das müsste also passen.
Dass man den Vektor komponentenweise Ableitet ist mir auch klar, das hab ich auch versucht nur kommt dabei halt irgendwie Mist raus.
Zumindest ist mir schon mal ein Fehler beim Ableiten aufgefallen, den ich hoffentlich jetzt gleich nicht mache.
Komponentenweise:
[mm] \br{d t_1}{dt} = \br{ \left[ 0 \cdot (1+2t^2) - 4t \right] \cdot 4t}{ (1+2t^2)^2 }= \br{ -8t^2}{(1+2t^2)^2} [/mm]
[mm] \br{d t_2}{dt} = \br{ \left[ 2 \cdot (1+2t^2) - 2t \cdot 4t \right] \cdot 4t}{ (1+2t^2)^2 } [/mm]
[mm] \br{d t_3}{dt} = \br{ \left[ 4t \cdot (1+2t^2) - 2t^2 \cdot 4t \right] \cdot 4t}{ (1+2t^2)^2 } [/mm]
Nur wird der Betrag davon auch nicht besser. *grummel*
Darum glaube ich, dass ich einfach die Ableitung falsch bilde.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Di 01.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
grundsätzlich ist dein Vorgehen richtig, nur dt1/dt ist falsch, da kommt -4t/|r'| raus.
im 2.ten post hast du immer nen Faktor 4t in den Ableitungen, den ich nicht verstehe, es sieht aus, dass du nach Anwenden der Quotientenregel nochmal mit der Ableitung des Nenners multipl. hast.? also ,wenn die 4t weg sind ists richtig.
im übrigen find ich die Formel
[mm] \kappa=\bruch{|\vec{r'}\times \vec{r''}|}{|\vec{r'}|^3} [/mm] einfacher.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:25 Di 01.04.2008 | | Autor: | jimi |
Ja, danke. Der Faktor war wohl falsch. Ich dachte man müsse noch mal mit der Ableitung der "inneren" Funktion mullipizieren, aber das ist wohl nicht der Fall. (Warum eigentlich nicht? ^^ )
Stimmt, die [mm] \kappa [/mm] Formel ist einfacher, die hab ich auch schon gezeigt. Blöd nur, dass ich sie nicht auch einfach angewendet habe. :D
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