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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:48 Mo 13.10.2008 | | Autor: | mat_k |
| Aufgabe | Wir haben gesehen, daß sich jede reelle Zahl als (unendlicher) Dezimalbruch schreiben
läßt. Allgemeiner kann man zu jeder Zahl b [mm] \in \IN0 [/mm] \ {1} die sogenannte b-adische Darstellung ±d0.d1d2d3 . . . := ± (d0 + d1/b + [mm] d2/b^2 [/mm] + [mm] d3/b^3 [/mm] ....) einer reellen Zahl definieren, wobei d0 [mm] \in \IN0 [/mm] und [mm] d_k \in [/mm] {0, 1, 2, . . . , b − 1}, k [mm] \in \IN, [/mm] gelten soll. Für
b = 10 bekommt man also insbesondere wieder die übliche Dezimaldarstellung.
a) Gibt es zu jeder rationalen Zahl x ein b [mm] \in \IN [/mm] \ {1}, so daß eine b-adische Darstellung von x nur endlich viele Ziffern dk [mm] \not= [/mm] 0 enthält?
b) Ist die b-adische Darstellung einer rationalen Zahl für jedes b [mm] \in \IN [/mm] \ {1} von einer gewissen Stelle an periodisch?
c) Ist umgekehrt jede reelle Zahl x, für die ein b [mm] \in \IN [/mm] \ {1} existiert, so daß die b-adische Darstellung von x von einer gewissen Stelle an periodisch ist, rational? |
Könnte mir jemand zumindest zu a) einen Ansatz geben, wie diese Aufgabe zu lösen/beweisen ist? Dankeschön!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:11 Mo 13.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Könnte mir jemand zumindest zu a) einen Ansatz geben, wie
> diese Aufgabe zu lösen/beweisen ist? Dankeschön!
Also wenn du eine rationale Zahl [mm] $\frac{p}{q}$ [/mm] hast, ist es doch naheliegend, mal als Basis $b=q$ auszuprobieren...
Gruß, Robert
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