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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:12 Di 29.11.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Sei G eine Gruppe mit Zentrum Z, g [mm] \in [/mm] G ein beliebiges Element und [mm] \gamma_g [/mm] : G [mm] \to [/mm] G, h [mm] \mapsto ghg^{-1} [/mm] die zu g gehörende Konjugationsabbildung. Beweisen Sie folgende Aussagen:
(i) [mm] \gamma_g [/mm] ist ein Automorphismus, d.h. [mm] \gamma_g \in [/mm] Aut(G).
(ii) Die Abbildung [mm] \Gamma [/mm] : G [mm] \to [/mm] Aut(G), g [mm] \mapsto \gamma_g [/mm] ist ein Gruppenhomomorphismus.
(iii) Das Bild [mm] im(\Gamma) [/mm] ist ein Normalteiler in Aut(G).
(iv) [mm] ker(\Gamma)=Z [/mm] |
Danke schonmal fürs drüber schauen!
(i) Für einen Automorphismus muss ich zeigen, dass 1.) [mm] \gamma_g [/mm] ein Homomorphismus ist und dass dieser 2.) bijektiv ist.
Also für 1.) [mm] \gamma_g(a*b)=\gamma_g(a)*\gamma_g(b) [/mm] und für 2.) [mm] \gamma_g(\gamma_{g^{-1}}(h))=h [/mm] und [mm] \gamma_{g^{-1}}(\gamma_g(h))=h. [/mm]
Ist das so ok? oder hätte es auch gereicht nur eins davon zu zeigen?
Die genaue Rechnung spare ich mir mal, geht mir nur darum, dass das Prinzip richtig ist.
(ii) Wenn [mm] \Gamma [/mm] ein Gruppenhomomorphismus ist, muss gelten:
[mm] \Gamma(a*b)=\gamma_{a*b}(h)=\gamma_a(\gamma_b(h))=\Gamma(a)*\Gamma(b) [/mm] richtig?
(iii) Das Bild ist ja [mm] im(\Gamma)=\{\gamma_g \ | \ g\in G\}. [/mm] Für Normalteiler muss ich zunächst zeigen, dass das Einselement e [mm] \in im(\Gamma).
[/mm]
Jetzt ist aber [mm] \Gamma(e)=\gamma_e=e*h*e^{-1}=h. [/mm] Jetzt könnte ich doch argumentieren, dass wegen e [mm] \in [/mm] G auch ein h mit h=e existiert und folglich [mm] e\in im(\Gamma) [/mm] liegt. ???
Für a,b [mm] \in im(\Gamma) [/mm] gilt: [mm] \gamma_a(\gamma_b(h))=abhb^{-1}a^{-1}=(ab)h(ab)^{-1}=\gamma_{a*b}. [/mm] Auch richtig?
[mm] x\in im(\Gamma) [/mm] : [mm] \gamma_x=xhx^{-1} [/mm] (*) von rechts mit x und von links mit [mm] x^{-1} [/mm] multipliziert erhält man (*)= [mm] x^{-1}hx.
[/mm]
(iv) [mm] ker(\Gamma)=\{g\in G \ | \ \gamma_g=e\} [/mm]
Wenn jetzt g [mm] \in ker(\Gamma) [/mm] dann gilt: [mm] g*h*g^{-1}=e \gdw [/mm] h=e [mm] \gdw [/mm] g*e=e*g. Mehr kann ich da im moment nicht raus holen. wenn [mm] ker(\Gamma)=Z(G) [/mm] ist, heisst das ja, dass nur e im Zentrum liegt. Aber wie kann ich zeigen, dass es nicht noch andere Elemente im Zentrum gibt?
Danke vielmals! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:47 Di 29.11.2011 | | Autor: | hippias |
> Sei G eine Gruppe mit Zentrum Z, g [mm]\in[/mm] G ein beliebiges
> Element und [mm]\gamma_g[/mm] : G [mm]\to[/mm] G, h [mm]\mapsto ghg^{-1}[/mm] die zu g
> gehörende Konjugationsabbildung. Beweisen Sie folgende
> Aussagen:
>
> (i) [mm]\gamma_g[/mm] ist ein Automorphismus, d.h. [mm]\gamma_g \in[/mm]
> Aut(G).
>
> (ii) Die Abbildung [mm]\Gamma[/mm] : G [mm]\to[/mm] Aut(G), g [mm]\mapsto \gamma_g[/mm]
> ist ein Gruppenhomomorphismus.
>
> (iii) Das Bild [mm]im(\Gamma)[/mm] ist ein Normalteiler in Aut(G).
>
> (iv) [mm]ker(\Gamma)=Z[/mm]
> Danke schonmal fürs drüber schauen!
>
> (i) Für einen Automorphismus muss ich zeigen, dass 1.)
> [mm]\gamma_g[/mm] ein Homomorphismus ist und dass dieser 2.)
> bijektiv ist.
>
> Also für 1.) [mm]\gamma_g(a*b)=\gamma_g(a)*\gamma_g(b)[/mm] und
> für 2.) [mm]\gamma_g(\gamma_{g^{-1}}(h))=h[/mm] und
> [mm]\gamma_{g^{-1}}(\gamma_g(h))=h.[/mm]
>
> Ist das so ok? oder hätte es auch gereicht nur eins davon
> zu zeigen?
Richtig; es muss beides gezeigt werden.
> Die genaue Rechnung spare ich mir mal, geht mir nur darum,
> dass das Prinzip richtig ist.
>
> (ii) Wenn [mm]\Gamma[/mm] ein Gruppenhomomorphismus ist, muss
> gelten:
>
> [mm]\Gamma(a*b)=\gamma_{a*b}(h)=\gamma_a(\gamma_b(h))=\Gamma(a)*\Gamma(b)[/mm]
> richtig?
Im Prinzip richtig, aber schreibe besser entweder [mm] $\Gamma(a*b)=\Gamma(a)*\Gamma(b)$ [/mm] oder [mm] $\Gamma(a*b)(h)=\gamma_{a*b}(h)=\gamma_a(\gamma_b(h))=(\Gamma(a)*\Gamma(b))(h)$ [/mm] fuer alle [mm] $h\in [/mm] G$
>
> (iii) Das Bild ist ja [mm]im(\Gamma)=\{\gamma_g \ | \ g\in G\}.[/mm]
> Für Normalteiler muss ich zunächst zeigen, dass das
> Einselement e [mm]\in im(\Gamma).[/mm]
>
> Jetzt ist aber [mm]\Gamma(e)=\gamma_e=e*h*e^{-1}=h.[/mm] Jetzt
> könnte ich doch argumentieren, dass wegen e [mm]\in[/mm] G auch ein
> h mit h=e existiert und folglich [mm]e\in im(\Gamma)[/mm] liegt.
> ???
>
> Für a,b [mm]\in im(\Gamma)[/mm] gilt:
> [mm]\gamma_a(\gamma_b(h))=abhb^{-1}a^{-1}=(ab)h(ab)^{-1}=\gamma_{a*b}.[/mm]
> Auch richtig?
>
> [mm]x\in im(\Gamma)[/mm] : [mm]\gamma_x=xhx^{-1}[/mm] (*) von rechts mit x
> und von links mit [mm]x^{-1}[/mm] multipliziert erhält man (*)=
> [mm]x^{-1}hx.[/mm]
Das ist konfus: Da [mm] $\Gamma$ [/mm] ein Homomorphismus ist, ist [mm] $im(\Gamma)$ [/mm] automatisch eine Untergruppe; damit laesst sich der Beweis aus den Nachweis der Abgeschlossenheit bezueglich Konjugation beschraenken. Beachte auch, dass $G$ und [mm] $im(\Gamma)$ [/mm] unterscheidliche neutrale Elemente haben: in $Aut(G)$ ist es die identische Abbildung. Fuer die Normalteilereigenschaft musst Du zeigen, dass es zu beliebigen [mm] $g\in [/mm] G$ und [mm] $\alpha\in [/mm] Aut(G)$ ein [mm] $g'\in [/mm] G$ gibt, sodass [mm] $\alpha^{-1}\gamma_{g}\alpha= \gamma_{g'}$ [/mm] gilt.
>
> (iv) [mm]ker(\Gamma)=\{g\in G \ | \ \gamma_g=e\}[/mm]
>
> Wenn jetzt g [mm]\in ker(\Gamma)[/mm] dann gilt: [mm]g*h*g^{-1}=e \gdw[/mm]
> h=e [mm]\gdw[/mm] g*e=e*g.
Siehe oben: $e$ steht hier fuer die identische Abbildung. Damit ist [mm] $\gamma_{g}(h)= [/mm] h$ fuer alle [mm] $h\in [/mm] G$, was bedeutet ...
> Mehr kann ich da im moment nicht raus
> holen. wenn [mm]ker(\Gamma)=Z(G)[/mm] ist, heisst das ja, dass nur e
> im Zentrum liegt. Aber wie kann ich zeigen, dass es nicht
> noch andere Elemente im Zentrum gibt?
>
> Danke vielmals! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:59 Di 29.11.2011 | | Autor: | chesn |
ahh okay.. danke! :)
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