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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:15 Mo 08.01.2007 | | Autor: | darwin |
| Aufgabe | Man zeige, dass die Abbildung f: $ [mm] \IZ [/mm] $ + $ [mm] \IZ \wurzel{k} \to \IZ [/mm] $ + $ [mm] \IZ \wurzel{k} [/mm] $ mit
f $ [mm] \left( a+b\wurzel{k} \right) [/mm] $ = $ [mm] a-b\wurzel{k} [/mm] $
ein Automorphismus ist, falls k keine Quadratzahl ist.
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Hallo zusammen.
Ich vermisse in der Aufgabenstellung die Gruppen. Ist für ein Automorphismus nicht wenigstens eine Gruppe erforderlich? Oder kann ich mir die Operation aus der Abbildunf herleiten? Und was macht es für einen Unterschied, wenn k doch eine Quadratzahl ist?
Danke im Voraus
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Hallo
Nun, die Abb. f geht ja von [mm] \IZ [/mm] + [mm] \IZ\wurzel{k} [/mm] nach [mm] \IZ [/mm] + [mm] \IZ\wurzel{k}
[/mm]
Also sind als Gruppen wohl [mm] \left(\IZ + \IZ\wurzel{k} , +\right) [/mm] gemeint.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Di 09.01.2007 | | Autor: | darwin |
Danke erstmal.
Ich glaube aber, dass es sogar ein Ring [mm] \left( \IZ + \IZ\wurzel{k},+,* \right) [/mm] ist. Aber weiter komme ich dadurch auch nicht. Das muss irgedwie mit nem -k zusammenhängen.
Kann mir bitte jemand sagen, wie ich zeige, dass es sich um einen Automorphismus handelt.
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Hallo
mal ne Idee:
Wenn f ein Automorphismus sein soll, muss f bijektiv sein.
Wenn man die Injektivität untersucht und sich a und b [mm] \in\IZ+\IZ\wurzel{k} [/mm] hernimmt,
etwa [mm] a=a_1+b_1\wurzel{k} [/mm] und [mm] b=a_2+b_2\wurzel{k} [/mm] mit f(a)=f(b)
also [mm] a_1-b_1\wurzel{k}=a_2-b_2\wurzel{k}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_1-b_1\wurzel{k}-a_2-b_2\wurzel{k}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow (a_1-a_2)+(b_2-b_1)\wurzel{k}=0
[/mm]
Nun folgt, da k keine Quadratzahl ist, dass [mm] a_1-a_2\ne(b_2-b_1)\wurzel{k} [/mm] ist, denn [mm] (b_2-b_1)\wurzel{k} \not\in\IZ, [/mm] also [mm] a_1-a_2=0 [/mm] und [mm] b_2-b_1=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f injektiv
(Wenn k eine Quadratzahl wäre, könnte es passieren, dass [mm] a_1-a_2=-(b_2-b_1)\wurzel{k} [/mm] ist, und f wäre nicht mehr injektiv
Bleibt dann noch die Surjektivität zu checken
Gruß
schachuzipus
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> Kann mir bitte jemand sagen, wie ich zeige, dass es sich um
> einen Automorphismus handelt.
Hallo,
ergänzend zu schachuzipus Antwort:
natürlich mußt Du zunächst zeigen, daß man es hier mit einem Homomorphismus zu tun hat, denn mitnichten ist jede bijektive Abbildung ein solcher.
Du erwähntest ja selber in einem vorhergehenden Post, daß man es hier mit einem Ring zu tun hat - von daher nur zur Sicherheit:
Du mußt zeigen, daß für alle x,y [mm] \in \IZ [/mm] + [mm] \IZ \wurzel{k} [/mm] gilt:
f(x+y)=f(x)+f(y) und f(xy)=f(x)f(y)
Gruß v. Angela
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