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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Mi 13.12.2006 | | Autor: | darwin |
| Aufgabe | | Man zeige, dass eine Gruppe G genau dann abelsch ist, wenn die Abbildung [mm] \phi : G \to G , \phi \left( x \right) = x^{-1}[/mm] ein Automorphismus ist. |
Hallo zusammen,
ich weiß leider nicht wie ich das angehen soll.
Wenn [mm] \phi [/mm] ein Automorphismus ist müsste [mm] \phi \left( x \right) = x^{-1}[/mm] ein bijektiver Homomorphismus sein bzw. ein Isomorphismus auf sich selbst. Ergo würde gelten, [mm]\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)[/mm]. Zu zeigen ist jedenfals, das aus der kommutativität diese Automorphismus folgt und Gegenrichtung.
Ist die Gruppe abelsch, weil gilt [mm]\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b) = \varphi(b)\varphi(a)[/mm]? Ich glaube nicht.
Kann mir jemand sagen wie das gezeigt wird?
Danke im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Darwin,
was ist denn in deinem konkreten Fall [mm] \phi(a) [/mm] und [mm] \phi(b) [/mm] ?
Außerdem weißt du, in welchem Verhältnis [mm]ab[/mm] und [mm] \phi(ab) [/mm] zueinander stehen.
Hugo
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:49 Do 14.12.2006 | | Autor: | darwin |
Danke für die Antwort,
das ist eigentlich auch die Frage die ich mir gestellt habe. Ist a neutrales Element und b die Inversion? Ich kann mir darunter nichts vorstellen, obwohl ich das Gefühl habe, dass es einfach sein sollte.
Kann mir nochmal jemand helfen?
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(Frage) überfällig | | Datum: | 08:59 Do 14.12.2006 | | Autor: | darwin |
Nochmal.
[mm]\phi \left( ab \right) = \phi \left( a \right) \phi \left( b^{-1} \right) =\left( ab \right) ^{-1}=\phi \left( b\right) \phi \left( a^{-1} \right)[/mm].
Demnach sollte die Gruppe abelsch sein. Jetzt sehe ich aber nicht wie nun wieder der Automorphismus zu folgern ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Do 14.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:06 Do 14.12.2006 | | Autor: | otto.euler |
[mm] \phi [/mm] ist stets bijektiv.
[mm] \phi(x) [/mm] = [mm] \phi(y) \gdw x^{-1} [/mm] = [mm] y^{-1} \gdw x^{-1}x [/mm] = [mm] y^{-1}x \gdw [/mm] e = [mm] y^{-1}x \gdw [/mm] ye = [mm] yy^{-1}x \gdw [/mm] y = ex [mm] \gdw [/mm] y = x, also injektiv.
[mm] \phi(x^{-1}) [/mm] = [mm] (x^{-1})^{-1} [/mm] = x, also surjektiv.
Folglich genügt es zu zeigen:
G abelsch [mm] \gdw \phi [/mm] homomorph [mm] \gdw \phi(xy) [/mm] = [mm] \phi(x)\phi(y) [/mm] für alle x,y [mm] \gdw (xy)^{-1} [/mm] = [mm] x^{-1}y^{-1} [/mm] für alle x,y [mm] \gdw y^{-1}x^{-1} [/mm] = [mm] x^{-1}y^{-1} [/mm] für alle x,y
Und das ist ja wohl offensichtlich.
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